(新课标)高中数学《2.3.1抛物线及其标准方程》课件新人教A版选修1-1

2．3抛物线2．3.1抛物线及其标准方程【课标要求】1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．2．会求简单的抛物线的方程．【核心扫描】1．抛物线的定义及其标准方程的求法．(重点)2．抛物线定义及方程的应用．(难点)自学导引1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．距离相等焦点准线试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？提示当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p0)(p2，0)x＝－p2y2＝－2px(p0)(－p2，0)x＝p2x2＝2py(p0)(0，p2)y＝－p2x2＝－2py(p0)(0，－p2)y＝p2想一想：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？提示一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．名师点睛1．抛物线定义的理解(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如到点F(1，0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线．2．抛物线标准方程的特点四种抛物线及其标准方程的共同特点是：(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于2p4＝p2.抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点决定于一次项，开口决定于正负号，即标准方程中，如果含的是x的一次项，则焦点就在x轴上，并且焦点的横坐标为p2(或－p2)，相应的准线是x＝－p2(或x＝p2)，如果含的是y的一次项，有类似的结论．题型一求抛物线的标准方程【例1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(－2，0)；(2)准线为y＝－1；(3)过点A(2，3)；(4)焦点到准线的距离为52.[思路探索]求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，再根据已知求出系数p.若类型不能确定，应分类讨论．解(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且p2＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝－8x.(2)∵焦点在y轴正半轴上，且p2＝1，∴p＝2，∴抛物线标准方程为x2＝4y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝92或n＝43.∴所求的抛物线方程为y2＝92x或x2＝43y.(4)由焦点到准线的距离为52，可知p＝52.∴所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.规律方法求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)．【变式1】根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．解(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p0)或x2＝－2py(p0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝16；若抛物线的标准方程为x2＝－2py，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝92.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－13x或x2＝－9y.(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4，0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.∴所求抛物线的标准方程x2＝－12y或y2＝16x.题型二抛物线定义的应用【例2】如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．[思路探索]解题的关键是利用抛物线的定义得到|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，由图可知当A、P、Q三点共线时取最小值．解如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵62，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72.即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2，2)．规律方法抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．【变式2】已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()．A.172B．2C.5D.92解析如图，由抛物线定义知|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值．又A(0，2)，F(12，0)，∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|＝（0－12）2＋（2－0）2＝172.答案A题型三抛物线的实际应用【例3】(12分)一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值．审题指导本题主要考查抛物线知识的实际应用．解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的问题解决．[规范解答]以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直线坐标系，则点B的坐标为(a2，－a4)，如图所示．(3分)设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则(a2)2＝m·(－a4)，∴m＝－a.(6分)即抛物线方程为x2＝－ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－0.82a.(8分)欲使卡车通过隧道，应有y－(－a4)3，即a4－0.82a3.(10分)∵a0，∴a12.21.∴a应取13.(12分)【题后反思】在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．【变式3】某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系．(如图)设抛物线的方程是x2＝－2py(p0)由题意知，A(4，－5)在抛物线上，故：16＝－2p×(－5)⇒p＝85，则抛物线的方程是x2＝－165y(－4≤x≤4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B′时，木船开始不能通航．设B(2，y′)，∴22＝－165y′⇒y′＝－54，∴54＋0.75＝2.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航．方法技巧数形结合思想在抛物线中的应用在讨论直线与圆锥曲线位置关系、求最值等问题时，运用数形结合的思想，能化难为易，化抽象为具体，使问题迅速获解．【示例】已知AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数且a≥1)，求弦AB的中点M离x轴的最近距离．[思路分析]由抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，再结合图象，运用三角形两边之和大于第三边来求解．解如图所示，设A，M，B点的纵坐标分别为y1，y2，y3，A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为A′，M′，B′.由抛物线的定义，得|AF|＝|AA′|＝y1＋14，|BF|＝|BB′|＝y3＋14.∴y1＝|AF|－14，y3＝|BF|－14.又M是线段AB的中点，∴y2＝12(y1＋y3)＝12(|AF|＋|BF|－12)≥12×(|AB|－12)＝14(2a－1)．等号成立的条件是A，F，B三点共线，即AB为焦点弦．又|AB|＝a≥1，所以AB可以取为焦点弦，即等号可以成立，所以中点M到x轴的最近距离为14(2a－1)．方法点评在抛物线中的最值、定值问题中，很多利用抛物线的定义来解决，一是要将问题首先转化成几何知识，二是注意挖掘题目中隐含条件，还要注重数形结合的应用．