(新课程)高中数学《1.1.3四种命题间的相互关系》课件新人教A版选修21

1.1.3四种命题间的相互关系【课标要求】1．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．2．会利用命题的等价性解决问题．【核心扫描】1．掌握四种命题之间的相互关系．(重点)2．等价命题的应用．(难点)自学导引1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.原命题逆命题否命题逆否命题真真真假假真假假真真假真真假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性．想一想：在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.相同没有关系名师点睛1．四种命题的真假关系原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真；原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真．2．四种命题的等价关系的应用判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假，如带有否定词的命题真假的判断．因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．题型一四种命题间的相互关系【例1】命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？[思路探索]设命题a为“若p，则q”，再根据已知各命题的关系写出各命题．解设命题a：若p，则q，则命题b：若綈p，则綈q，命题c：若q，则p，命题d：若p，则q，∴命题a与命题d是同一命题．规律方法判断两个命题的关系，从其结构上分析条件和结论是最本质的方法，解题关键是熟练掌握四种命题的概念．【变式1】若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的()．A．原命题B．逆命题C．否命题D．逆否命题解析设命题p为“若k，则s”；则其否命题q是“若綈k，则綈s”；则命题q的逆命题r是“若綈s，则綈k”，而p的逆命题为“若s，则k”，故r是p的逆命题的否命题．答案C题型二等价命题的应用【例2】下列四个命题中：①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题②“若k0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题③“全等三角形的面积相等”的否命题④“若ab≠0，则a≠0”的否命题．其中真命题的个数是()．A．0B．1C．2D．3[思路探索]对于直接证明有困难的命题，可利用逆命题与否命题，原命题与逆否命题的等价性解决．解①中的逆命题为：若一个三角形三个内角均为60°，则该三角形为等边三角形．真命题；②中对于方程x2＋2x－k＝0来说，若k0，则Δ＝4＋4k0，故方程有实根，故②中的逆否命题为真命题；③中的否命题为：不全等三角形的面积不相等，易判断为假命题；④中否命题为：若ab＝0，则a＝0，易判断为假命题．故选C.答案C规律方法在判断命题真假时，利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题同真同假，可取得事半功倍的效果．尤其对含有否定意义的命题，转化为逆否命题进行判断会更容易．【变式2】判断命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解∵m0，∴12m0，∴12m＋40.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋40.∴原命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．题型三逆否命题的应用【例3】(12分)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．审题指导本题的命题意图是考查逆否命题的应用．由于原命题与它的逆否命题同真同假，所以，可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的真假．[规范解答]法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：(3分)∵抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，(6分)若a1，则4a－70.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．(9分)所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．(12分)法二先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，(4分)即4a－7≥0，解得a≥74.(8分)因为a≥74，所以a≥1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．(12分)【题后反思】由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．【变式3】求证：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明法一原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b0，则f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)”．若a＋b0，则a－b，b－a，又∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，∴f(a)f(－b)，f(b)f(－a)，∴f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题，∴原命题为真命题．法二假设a＋b0，则a－b，b－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)f(－b)，f(b)f(－a)，∴f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)，这与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，因此假设不成立，故a＋b≥0.方法技巧反证法的应用1．反证法的理论基础：反证法就是证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立．由于互为逆否命题的两个命题具有等价性，从逻辑角度看，原命题为真，则它的逆否命题也为真．在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立．2．反证法的思想方法：命题“若p，则q”的逆否命题是“若非q，则非p”，假设q不成立，即非q成立，由此进行推理，则非p一定成立，这与p成立矛盾，那么就说明“假设q不成立”为假，从而可以导出“若p，则q”为真，达到论证的目的，这就是反证法的思想方法．3．反证法证明命题的步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的否定成立；(2)归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)说明：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．否定结论是反证法的第一步，它的正确与否，对于反证法有直接影响．【示例】若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．[思路分析]可以证明原命题的逆否命题为真命题，也可以运用反证法．证明法一依题意，就是证明命题“若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数”为真命题．为此，只需证明其逆否命题“若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2.”为真命题即可．∵a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．于是a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.∴原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立．法二假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，与a2＋b2＝c2矛盾．所以假设不成立，从而原命题成立．方法点评上述两种证明方法的本质是一致的，只是叙述的格式不同罢了，而以什么方式表达某一数学事实，这仅是阐述理由的外在表现形式，绝不影响数学事实的本质特点．两种方法相比较，反证法更具有“程式化”特点．注意含有否定词的命题常用反证法证明．