(第8章)高斯平面直角坐标

第八章高斯平面直角坐标2006版控制测量学讲稿104第八章高斯平面直角坐标§1正形投影的基本公式一、地图投影的概念1.投影的必要性及其方法①投影的必要性：测量工作的根本任务，是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。因：1）椭球面上计算复杂；2）地图是画在平面图纸上，故，有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。②投影的方法：按一定的数学法则，得到如下的解析关系（函数关系）x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)式中B，L——椭球面上的大地坐标x，y——投影平面上的直角坐标按高斯投影方法得到的平面直角坐标x，y叫高斯平面直角坐标。2.投影的分类椭球面是不可展开的曲面（圆柱，圆锥面是可展开曲面）。若展开成平面，必产生变形。投影按变形的性质可分为：等距离投影━投影后地面点见的距离不变等面积投影━保证投影后面积不变等角投影━投影后微分范围的形状相似3.测量采用的投影测量工作从计算和测图考虑，采用等角投影（又称正形投影、保角投影）。其便利在于：1）可把椭球面上的角度，不加改正地转换到平面上。（注：椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。为实用，需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向，称方向改化。方向改化是在平面上为实用而做的工作，非投影工作。且：①改化小，公式简单；②只在等级控制改化，图根控制、测图不顾及）2）因微分范围内投影前后图形相似，则大比例尺图的图形与实地完全相似，应用方便。二、正形投影1.正形投影的特性有微分三角形如图：对于保角投影：A′＝A；B′＝B；C′＝C所以长度比ccbbaamdddddd椭球面上投影面上BB′dcdadc′da′ACA′C′dbdb′第八章高斯平面直角坐标2006版控制测量学讲稿105故，正形投影在一个点（微分范围）上，各方向长度比相同。即投影后保持图形相似。例如下图，对一个任意形状的微小图形，总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它，对于正形投影：mobbooaao但上述特点只在微分范围内成立。在广大范围内，投影前后图形保持相似是不可能的（否则意味着椭球面可以展开）。因此，在大范围内，各处的长度比m必定不同。结论：正形投影的特性：长度比m与方向无关，但随点位而异。2.正形投影基本公式（充要条件）设椭球面上有无限趋近的两点P1，P2椭球面上：P1(B，L)P2(B＋dB，L＋dL)大地线长度dS投影面上：p1(x，y)p2(x＋dx，y＋dy)大地线长度的投影ds投影长度比为：Ssmdd下面分别推导上式中dS和ds：（dS和ds为曲线，但对微分线段，将其看成各自三角形的斜边）dS2＝(MdB)2＋(NcosBdl)2＝(MdB)2＋(rdl)2＝r2[(rMdB)2＋(dl)2]引入等量纬度BrMqd，则dq＝(rM)dB（引入等量纬度纯粹为了推导公式方便）dS2＝r2[(dq)2＋(dl)2]另：x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)因q与B有确定的关系，l与L有确定的关系，所以有：x＝f1(q，l)y＝f2(q，l)aa′bb′ooee′cc′dd′l+dlLGlB+dBP2BdSP1特定子午线xP2′dsP1′yo第八章高斯平面直角坐标2006版控制测量学讲稿106微分得：llyqqyyllxqqxxdddddd故：lqlyqylxqxllylxqqyqxyxsdd)(2d])()[(d])()[(ddd222222222令：FlyqylxqxG)ly()lx(E)qy()qx(2222则：ds2＝Edq2＋2Fdq.dl＋Gdl2故：)d(dddd2ddd22222222lqrlGlqFqESdsm⑴由微分三角形知：lqlrBMAdddd)90tan(所以：dl＝dq·tanA⑵将⑵代入⑴得：22222222222sincossin2cos)tan1(dtandtand2drAGAAFAEAqrAqGAqFqEm欲使投影为正形投影，长度比m应与方向(A)无关。为此：令：F＝0；E＝G即：0lyqylxqx⑶2222)()()()(lylxqyqx⑷则上式为：222rGrEm（可看出m与方向无关）由⑶式可解得：qxlyqylx⑸⑸式代入⑷得：22)()(lyqx⑹⑹式开平方得：lyqx⑺P2MdBA90°-AP1rdl第八章高斯平面直角坐标2006版控制测量学讲稿107⑺取正号代入⑸得：qylx⑻（注：⑺式取正号意义是：选取椭球面和平面坐标轴方向时，要求在经线方向上q增加时，平面上x也增加；沿纬线方向l增加时，y也增加）故，椭球面到高斯平面上的正形投影公式（柯西黎曼方程）：qylxlyqx（此即正形投影的充分必要条件）3.证明复变函数x＋iy＝f(q＋il)当f′存在、且≠0时亦为正形投影证明如下：基本投影公式x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)亦可写成x＝f1(q，l)y＝f2(q，l)用复变函数形式写出为x＋iy＝f(q＋il)（q＋il—复变数；1i）令x＋iy＝zq＋il＝u则z＝f(u)求导1uzquuzqz⑼iuzluuzlz⑽由⑼、⑽式可得qzilz⑾因z＝x＋iy故lyilxlz⑿qyiqxqz⒀将⑿、⒀式代入⑾式得qyqxilyilx⒁⒁式虚实分开lyqxqylx第八章高斯平面直角坐标2006版控制测量学讲稿108此即柯西黎曼方程。证毕。练习及作业：1、阅读§8.1，§8.22、理解：①、投影的必要性及方法。②、投影的分类及测量采用的投影类型。③、正形投影的特性。§2高斯投影及高斯平面直角坐标一、高斯投影的一般解释及其特性1.高斯投影的几何意义高斯投影的几何意义是横轴椭圆柱正形投影。设想一横椭圆柱面套在椭球上，与某一子午线（称轴子午线或中央子午线）相切。椭圆柱的中心轴通过椭球中心，且与椭球短轴垂直。2.高斯投影的特性①高斯投影是正形投影；②中央子午线投影后应为x轴，且长度不变。3.高斯投影的一般解释轴子午线投影到椭圆柱面上展开为x轴。以O为投影中心，将赤道上各点投影到椭圆柱面上，为一长度变形直线。它垂直于x轴，称为y轴。椭球上任一段大地线S，以O为投影中心在横椭圆柱上投影为s，s≠S。长度变形m-1恒为正（轴子午线投影除外）。椭球上大地点P的坐标(B，L)，与投影后的坐标(x，y)，在B，L和x，y之间建立函数关系，即高斯投影。将中央子午线东西各一定的经差（6°、3°、1.5°）范围投影到椭圆柱面上，展开后构成高斯平面直角坐标系；每个投影带构成一个独立的坐标系统，各带的计算具有一样性。x中央子午线y边缘子午线Np1sP1Sp2P2o赤道S第八章高斯平面直角坐标2006版控制测量学讲稿1094.控制网从椭球面上投影到高斯平面上的投影计算工作①起算数据投影椭球面上已知元素：P1（B1，L1）；S；A12；投影到高斯平面上：p1(x1，y1)；s；A12；（平面上方位角为：T12＝A12－r－δ；r：平面子午收敛角；δ：方向改化）②观测数据计算：δ二、高斯投影正算﹝由大地坐标B、L计算平面坐标x、y﹞1.高斯正算基本公式高斯正算公式应满足高斯投影的特性。首先，应满足正形投影。取投影基本公式为：x＋iy＝f(q＋il)因l在6°带里最大为3°，是微小量，所以，f(q＋il)可用台劳级数展开：（台劳级数一般形式：f(x＋⊿)＝f(x)＋⊿f′(x)＋(1/2)⊿2f″(x)＋(1/3!)⊿3f3(x)…）故有：222d)(d)(21d)(d)()(qqfliqqfliqfliqf设图中，轴子午线上D投影为d；D的子午线弧长为X；d的纵坐标为x。若满足高斯投影中央子午线投影为x轴，且长度不变的特性，即：l＝0时，y＝0；且x＋iy＝f(q＋il)为：x＝f(q)＝X台劳展开x＋iy＝f（q＋il），并顾及上式：222dd21dd)(qXlqXliXliqfyix将上式虚实两部分分开，得高斯正算基本公式：666444222dd7201dd241dd21qXlqXlqXlXx555333dd1201dd61ddqXlqXlqxly2.高斯正算实用公式P2S轴A12P4子午P1线(B1,L1)P3道赤轴x子午线DdXxoyx轴p2子γ午T12线A12投sp4影p1δ(x1,y1)赤道投影p3y第八章高斯平面直角坐标2006版控制测量学讲稿110由基本公式推导实用公式如下：一阶导数BNrqBBXqXcosdddddd（因dX＝MdB；dq＝(rM)dB）二阶导数BBNqBBBNqBBqXqXqqXcossinddd)cosd(ddd)ddd()dd(dddd22继续求各阶导数，将X对q的各阶导数代入基本公式，得高斯正算实用公式44223422)495(cossin24cossin2ltBBNlBBNXx32233)1(cos6cosltBNlBNy(8-41，8-42)式中：t＝tanB；η＝e′2cos2B由上式可知：1）当B＝0（X＝0）时，x＝0（赤道投影为一直线）2）当l＝0时，y＝0（轴子午线投影为一直线——x轴）x＝X（轴子午线投影，长度不变）3）当l＝常数，B↑，y↓B＝常数，∣l∣↑，x↑（8-42式计算精度可达1mm）三、高斯投影反算（由平面直角坐标x、y反算大地坐标B、L）有时要跨带计算两点间的距离S，这时根据两点的大地坐标，在椭球上解算更为方便；有时要用反算检核正算的正确性。故推导反算公式如下。见图。过d(x，y)点的纬度为B，对应纬度B，轴子午线弧长为X，有X＝f(B)；对应d点的纵坐标，即d点在x轴的垂足f，纬度为Bf（称底点纬度或垂足纬度）。高斯投影反算，必满足x＋iy＝f(q＋il)之反函数式，即q＋il＝x＋iyy为小量，上式可在d的底点f处台劳展开nnnnniydxxdxilq1!)()()(根据高斯投影条件：中央子午线投影为x轴，且长度保持不变，有y=0，则l=0，即ql=0=x，且x=Xf，故ql=0=Xfqf，于是上式改写成nnfnnfniydXqdqilq1!)()(根据BNXqcos1dd，推导出各阶导数代入上式，并将虚实分开得xBffB(≠0)⊿Bd(x,y)Xoy第八章高斯平面直角坐标2006版控制测量学讲稿111622264422422)4618061(cos7201)465(cos241cos21ytttBNyttBNytBNqqffffffffffffffff52224253223)8624285(cos1201)21(cos61cos1ytttBNytBNyBNlfffffffffffff实际应用上式时，还应把q-qf换成B-Bf（过程可参见武测、同济合编《控测》下），经整理得642222426444422224222)45162107459061(cos7201)936635(241)1(21ytttttBNyttttNytNBBfffffffffffffffffffffff式中，Bf是底点f的大地纬度，可根据x值（f点的子午弧长）由子午弧长公式反解求得。﹡子午线弧长反解公式详见朱华统教授著《常用大地坐标系及其变换》第二章，第五节，P47、P48;或教材P18，7.4.2式7-109，7-110。四、平面子午收敛角γ的计算平面子午收敛角定义：通过P点的子午线投影在平面上有一切线，该切线与坐标北的夹角为平面子