1.1_直角坐标系_平面上的伸缩变换

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s,已知各观测点到中心的距离都是1024m,试确定该巨响的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,各相关点均在同一面上)解：如图，将三个观察点记为A,B,C以信息中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系。yxACPBOa由题意得A,B,C的坐标分别为A(1020,0)B(-1020,0)C(0,1020)由于B,C同时听到点P发出的声音，因此|PB|=|PC|,说明点P在线段BC的垂直平分线上;由于A比B晚4S听到响声，故|PA|-|PB|=4×340=1360|AB|,说明点P在以点A,B为焦点的双曲线上.所以点P就是直线a和双曲线的交点。yxBACPoa12222byax由题意得直线a的方程为:xy设双曲线方程为:又)0(1=340×5-680340×5=680-1020=-=∴1020=,680=2222222222xyxacbca用y=－x代入上式,得5680x由已知,|PA||PB|10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即因此响声在信息中心的西偏北45°方向,距离处10680解决此类应用题的关键:1.建立平面直角坐标系2.设点（点与坐标的对应）3.列式（方程与坐标的对应）4.化简5.说明坐标法（1）怎样由正弦曲线得到曲线?（2）怎样由正弦曲线得到曲线?（3）怎样由正弦曲线得到曲线xysinxy2sinxysinxysin3xy2sin3xysin????平面直角坐标系中的伸缩变换复习回顾：1.如何画出正弦函数y=sinx在[0,2p]上的图象?y=sinx“五点法”：3(0,0)(,1)(,0)(,1)(2,0)22pppp、、、、2.如何用“五点法”画出函数y=sin2x的图象呢?“五点法”：3(0,0)(,1)(,0)(,1)(,0)424pppp、、、、y=sin2x3sin(0,0)(,1)(,0)(,1)(2,0)22yxpppp：、、、、3sin2(0,0)(,1)(,0)(,1)(,0)424yxpppp：、、、、y=sinxy=sin2x探究：对比这两组点的坐标，其中有什么规律吗？1(,)sin(,)2sin2xyyxxyyx若点在正弦曲线上，则点在曲线上.y=sinxy=sin2x12对曲线上任意一点，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?xOp2py=sinxy=sin2x在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.12xOp2py=sinxy=sin2x设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：12上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：x’=xy’=y121通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。设点P(x,y)经变换得到点为P’(x’,y’)x’=xy’=3y2通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。2怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.12x’=xy’=3y123通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换3设点P(x,y)经变换得到点为P’(x’,y’)定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’)称为平面直角坐标系中的伸缩变换。'(0):'(0)xxyy4注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,0例题1.在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形xx21yy3119422yx(1)xy22(2)解:由伸缩变换得将此式代入,xx21yy3119422yxxx2yy3122yx得到方程,因此经过伸缩变化后,曲线变成xx21yy3119422yx122yx''222231230;(2)1xxyyxyxy例：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形（）思考：在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？448P伸缩变换不变性1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=12.在同一直角坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为x’2－9y’2=1，求曲线C的方程并画出图形。x’=3xy’=y32xxyy22991xy练习：3、在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：222211sinsin422163244yxyxxxyyxyyx22把曲线变换成曲线；y把曲线+y=1变换成曲线+=1；把曲线变换成曲线；作业：P8Ex5、6