16 经济学中的常用函数

§1.6经济学中的常用函数一、需求函数需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直接关系外,还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他可取代商品的价格甚至季节的影响有关.现在我们只考虑商品的价格因素,其他因素暂时取定值.这样,对商品的需求量就是该商品价格的函数,称为需求函数.用Q表示对商品的需求量,p表示商品的价格,则需求函数为:()QQp,鉴于实际情况,自变量p,因变量Q都取非负值.一般地,需求量随价格上涨而减少,因此通常需求函数是价格的递减函数.常见的需求函数有:线性需求函数:Qabp,其中a,b均为非负常数;二次曲线需求函数:2Qabpcp,其中a,b,c均为非负常数;指数需求函数:bpQae,其中a,b均为非负常数.幂函数：0,0,kakPQa其中需求函数()QQp的反函数,称为价格函数,记作:()ppQ,也反映商品的需求与价格的关系.二、供给函数供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．供给量记为S,供应者愿意接受的价格为p,则供给量与价格之间的关系为:()SSp,称为供给函数,p称为供给价格,S与p均取非负值.由供给函数所作图形称为供给曲线.一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：线性函数:,baPQ,其中a,b均为非负常数;幂函数：:0,0,kakPQa其中;指数函数:bPaeQ,其中a,b均为非负常数.需求函数与供给函数密切相关,把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中,由于需求函数是递减函数,供给函数是递增函数,它们的图形必相交于一点,这一点叫做均衡点,这一点所对应的价格0p就是供、需平衡的价格,也叫均衡价格;这一点所对应的需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量.当市场价格p高于均衡价格0p时,产生了“供大于求”的现象,从而使市场价格下降;当市场价格p低于均衡价格0p时,这时会产生“供不应求”的现象,从而使市场价格上升;市场价格的调节就是这样实现的.应该指出,市场的均衡是暂时的,当条件发生变化时,原有的均衡状态就被破坏,从而需要在新的条件下建立新的均衡.例1某商品的需求量Q与价格p的关系由23123Qp给出,而供给量Q与价格p的关系由22099QQp给出,试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.【解】要求均衡价格和均衡需求量,即解方程组2220993123QQpQp,得到两组结果111201pQ和22156pQ.显然,第一组结果没有意义,故所求均衡价格为15单位,均衡需求量为6个单位.三、生产函数供需平衡价格供需平衡点0P生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素.为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况.例2)(22)2()()(xgcxxgcxxgxgxaaaa由于间的函数关系为与产出设投入时，可见，当1a规模报酬不变；时，当1a如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；时，当1a如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增.四、成本函数成本是指生产某种一定数量产品需要的费用,它包括固定成本和可变成本.若记总成本为C,固定成本为0C,Q为产量,1()CQ为可变成本,则成本函数为:01()()CCQCCQ,其中,00,0,CQ显然成本函数是递增函数,它随产量的增加而增加.（2）平均成本函数平均成本是指生产每单位产品的成本,记为C,即平均成本函数为:01()()=+CCQCQCQQQ,平均成本的大小反映企业生产的好差,平均成本越小说明企业生产单位产品时消耗的资源费用越低,效益更好.五、收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用Q表示出售的产品数量，R表示总收益,R表示平均收益，则QQRRQRR)(,)(如果产品价格p保持不变，则pRPQQR,)(六、利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即)()()(QCQRQL例3某工厂生产某种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品的费用为50元，预计售价80元，求总成本函数，平均成本函数，总收益函数,总利润函数和平均利润函数.解设产量为q，则总成本函数,平均成本函数,总收益函数分别为()1000050Cqq,10000()50Cqq,()80Rqq.而总利润函数为()80(1000050)3010000Lqqqq．平均利润函数为:()1000()30LqLqqq.七、库存函数设某企业在计划期T内，对某种物品总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分n次进货，每次进货批量为nQq，进货周期为nTt.假定每件物品的贮存单位时间费用为1C，每次进货费用为2C，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为2q，在时间T内的总费用E为qQCTqCE2121.2121为进货费用为贮存费，，其中qQCTqC八、戈珀兹(Gompertz)曲线戈珀兹曲线是指数函数tbkay在经济预测中，经常使用该曲线..100lg时，图形如上页所示，当ba且无限增大时，，曲线当由图可见0t，接近其无限与直线ky且始终位于该直线下方.在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到k值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和.初始期发展期饱和期k