(论数学分析探究性教学的重点问题的设置与作用)1

1论“数学分析”探究性教学重点——问题的设置与作用摘要：数学分析教学应加强探究性，强化问题的设置，通过要点质疑、变化质疑、开放性质疑、比较质疑、建构式质疑、正误质疑、思想方法质疑等，使学生加深对知识的理解，提高思维品质。关键词：数学分析、探究性、问题设置。“数学分析”课程在培养学生的思维品质、提高数学素养方面有其独特的作用。怎样教好这门课程？本人认为，“问题是数学的心脏”，要使学生真正掌握数学分析同时较好地发展思维能力，在教学中就不能平铺直叙，而必须加强探究性，强化问题的设置，通过巧妙的悬念设置和“画龙点晴”式的提问，来挖掘数学分析本身的奇迹性和魅力，从而激发学生的好奇心和求知欲，深化学生思维，使其真正“理解”有关知识，达到提高数学素养、培养现代化社会需要的智能型（不是知识型）人才的目的。数学理解作为一个目标层次被解释为：对概念和规律达到了理性认识，不仅能说出它们是什么，而且能知道它是怎么来的，与其它概念之间的联系，有什么用途；同时领悟隐含其中的思想方法，会进行变通和推广。这过程显然也发展了思维的深刻性、广阔性、批判性、周密性、创造性等品质。要使提问在这些方面确实发挥好的作用，就必须精心设置“教育上有意义”的问题，不能把提问停留在简单判断和机械回忆等较少智力参与的问题上，而应注重探究性、分析性、评价性、创造性等较高智力参与的问题。具体来说，可以有多种形式。1、要点质疑：正面理解概念的本质属性或规律需满足的条件。有些概念定理很抽象，如果能抓住其中的要点提问：这里的关键词、关键量是什么？表示什么含义？有哪些性质？需满足什么条件？等等，往往能把学生的注意力吸引到关键的地方，突出重点、分散难点，化抽象为具体，使学生抓住概念的本质属性。例如数列极限的N定义：时，有||aan显然是个抽象的定义。可先提问：这定义中有哪几个关键的量和数量关系？有三个：“”；“N”；“Nn时有||aan”。进而提问：、N是什么量？有什么特性？“Nn时有||aan”具体怎么解释？引导学生分析认识：①的绝对任意性和相对稳定性：是衡量na和a接近程度的量，它可任意小，这正说明na和a能接近到任何程度，所以也可用2、3、2等代替。但另一方面，当一经给出，就应暂时看作是固定不变的，以便根据它来求N。②N的相应性与存在性：一般来说，N是随着的变小而变大的自然数，但这并不意味着N是由唯一确定的，因为对已给出的，若N=100能满足要求，则N=101、102、……自然更满足要求，所以重要的不是N等于多少而是N的存在性，只要存在一个N满足条件即可。③“当Nn时都有||aan”具体指：凡是NnNNaann,,0lim2下标大于N的所有的na，都要满足不等式||aan，无一例外。从几何意义来讲，就是所有下标大于N的na都落在a的邻域内，或者说收敛于a的数列}{na在a的任意邻域内含有}{na几乎全体的项。这三个关键点搞清楚了，学生就能较好地理解数列极限的N定义，而且在分析解答的过程中，学会了抓重点、抓本质，提高了思维的深刻性。2、变化质疑：改变概念、规律的叙述方式进行辨析。好多概念、规律叙述方式不唯一，如果改变其某个条件或结论的叙述方式进行提问：该命题是否与原命题等价？是否正确？或者：这概念还可以怎么叙述？等等，往往能激发学生的兴趣，引导他们多角度思考问题，加深对该知识的理解。例如：以下五个表述与极限的定义是否等价，并说明理由：①,0NnNN,，有||aan。②KKNnNNNK,,，有。③NK，只有数列}{na的有限项不属于开区间。④有无限个,0对每个存在NnNN,，有||aan。⑤0，总有数列}{na的无限多项na满足不等式||aan。引导学生抓住极限定义和N、特性分析：①显然等价。因为此叙述与定义不同之处仅是两个不等式都带有等号，而正数具有任意性，且N不唯一。②等价。因为NK),1(0，使，从而。③等价。因为，设数列}{na有Kn项（有限项）Knnnaaa,,,21不属于开区间，只要设},,,max{21KKnnnN，则KNn有，所以，它等价于②的叙述。④不等价。因为“无限个0”不一定能保证任意小。例如无限个均大于，不能任意小。⑤不等价。因为“对无限多个n，有||aan”与“NN，Nn，有||aan”不等价。例如数列})1{(n的无限多个偶数项，即Kn2，有0|1)1(|2K，但数列})1{(n却不存在极限。这样的提问和答疑，促使学生抓住概念的本质属性去多方位、全面地分析、思考问题，提高了思维的灵活性、周密性。3、开放性质疑：通过开放性问题的设置来开发学生创造潜能。要使数学分析成为“训练思维的体操”，设计一些开放性的问题是很必要的。开放题的构建主要有：由问题本身的开放而获得新问题（改变命题结构、条件开放、问题开放等）；或由问题解法的开放而获得新思路（如多角度思考、一题多解等）。例如：你能找出函数)(xf在某点0x连续但不可导的例子吗？（越多越好），进而考虑它们有何特点？大致有哪几种类型？（结论开放、综合开放型）aannlimKaan1||)1,1KaKa（KK111)(010KKNKKaaKaKaann,1||)1,1()1,1(KaKaKaan1||)(3131Nnnn313可引导学生抓住函数在点0x可导的几何特征来分析：①函数||)(xxf在点00x连续不可导；②函数3)(xxf在00x处连续不可导；③函数在00x处连续不可导；……可以举出很多例子，分析其几何特点，归纳出类型大致有：)(xf在点0x图象为“尖点”；)(xf在点0x有垂直于x轴的切线；)(xf在点0x没有切线等等。从而能深刻认识到，)(xf在点0x连续是可导的必要条件而不是充分条件。又如：数列极限的定义可以有哪些不同的方式来表述？（条件开放）还如：求不定积分有哪些不同方法？（方法开放型）。引导学生分析、尝试可知：该不定积分可通过多种积分途径得出（过程略）。开放性问题突出了探究性，解答的过程就是多思路分析、探究的过程，不仅能训练学生思维的灵活性、创造性，也提高了学生分析、解决问题的能力。4、比较质疑：通过比较来掌握有关知识的联系和区别。有的概念或规律看起来相似，实际上有本质的不同或有不同的思路；有的看起来不同，却有紧密的联系或相同之处。所以应抓住有关概念多提问：它们有什么联系和区别？从而加深对概念、规律的理解，了解知识间的联系和内在结构。例如：无穷大与无界函数有什么区别和联系？引导学生根据定义分析：无穷大是指在自变量的某一变化过程中对应的函数值的一种变化趋势，即绝对值无限制增大，定义中的Gxf|)(|要求x变化到某一阶段后的一切x都要满足。而无界函数是以否定有界函数来定义的，它是反映自变量在某一范围时对应的函数值的一种性态，定义中的Mxf|)(|只要求自变量在此范围内有一个x满足即可（尽管G、M都是任意大的正数）。它们又有联系：如果)(xf是当0xx时的无穷大，则)(xf在点0x附近一定无界，反之不一定成立。又如：定积分与不定积分有何关系？根据定义分析：定积分是“特定结构的和数”的极限，不定积分是被积函数的原函数的全体，二者显然不同，一般来说彼此没有必然关系。一个函数可积却可能不存在原函数，如符号函数在]1,1[上的情况。反之，一个函数存在原函数却可能不可积。例如函数在R上存在原函数，但在]1,1[上却不可积（无界）。但它们在一定条件下又有联系，对连续函数来说，设)(xf在],[ba上连续，)(xF是)(xf的原函数，则，此时的定积分可通过不定积分求解。亦即：只有对连续函数、微分运算和积分运算才是互逆运算。经常作这样的比较质疑，能促使学生正确区别概念之间的联系和区别，了解知识结0001sin)(xxxxxfaannlimdxxx223)1(010001sgn)(xxxxxf0001cos21sin2)(22xxxxxxxfbaaFbFdxxf)()()(4构，加深对知识的整体理解。5、建构式质疑：由现实原型抽象构造数学概念，提高抽象能力。数学分析是十七世纪的数学家为解决物质世界的实际问题而开始建立的，不少重要定义都是通过“模式建构形式”方法得到的。有尽有即先从现实原型出发讨论，然后探究，抽象出各种现实原型的共同特性，重新构造具有更普遍意义的数学概念。教学中应多进行建构式的提问，以了解概念的产生过程和应用范围。例如导数概念的引入：先让学生考虑变速运动的物体在某一时刻0t的瞬时速度的求法和曲线上某点处切钱的求法。学生探究得出：瞬时速度是某时间间隔内平均速度的极限；切线斜率是某区间内割线斜率的极限。然后提问：如果撇开这两类不同实际问题的具体意义，它们在数量关系上有哪些共性？反映了哪一类问题？能不能抽象为一种“模式”？引导学生分析：它们都是当0xx时函数)(xf的平均变化率的极限，从而抽象出导数的概念，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，即函数的变化率问题，是一种数学“模式”。前面两个不相关的问题提升到数学则相同。凡属这类函数变化率问题，如电流强度、角速度、线密度等，都可归结为函数的导数问题。定积分概念的教学也可类似进行。这样的思考、答疑过程，显然能提高学生的数学抽象能力，同时明确概念的建立过程和用途，掌握知识结构，能融会贯通。6、正误质疑：对一些似是而非的问题进行辨析制错。数学分析中对初学的概念、规律很容易引起一些联想，产生似是而非的结论。若有针对性地多问几个正确吗？是否存在？等等，多进行正误判断，就能提高思维的批判性，加深对知识的理解。例如：若函数)(xf在点a连续，是否存在a的某个邻域),(aU，使)(xf在该领域内连续？引导学生举反例解答：不一定。如，则)(xf在0x处连续，而在点0x的任何领域内都有间断点。从而使学生加深对函数在某点连续和某区间连续这两个概念的理解。又如：设有两个级数，有，问它们是否具有相同的敛散性？启发学生观察分析：这里的条件与比较判别法的条件相同，但比较判别法只适用于正项级数，本问题中的两个级数没有指明是正项级数，可举例说明不能得到相同敛散性，如，但由莱布尼兹判别法可知，级数000)()(limlim0tttftftSVtttxyKx0lim00)()(lim0xxxfxfxxxy000)()(limlim0xxxfxfxyxxx为无理数时当为有理数时当xxxxf0)(211nnnnVU、0limAVUnnn1lim)1(1)1(nnnnnnnVUnVnnU，有，1nnV5收敛，而级数发散。从而加深了对比较判别法的认识。还如：在区间I上不连续的函数是否一定不存在原函数？也只要举一反例就可说明不一定成立。可见，在对似是而非的命题进行正误判断时，经常要举反例说明。这能促使学生提高思维的批判性，学会去伪存真，去表及里，也训练了思维的灵活性和深刻性。7、思考方法质疑：通过反复渗透，领会知识内含的思想方法和学习策略。数学分析教材中除了显性知识外，还有一条隐含的线索，就是有关的思想方法，它是数学中的深层知识，比显性知识具有范围广、应用领域宽的特点，被广泛应用。但思想方法隐蔽性强，教师要有意识地多作这方面的提问和挖掘，经过反复多次渗透，潜移默化地引导学生领会蕴含其中的思想方法，逐渐提炼概括成理性知识。例如运动变化的观点、极限的思想、微元分析的思想方法、数学抽象的“模式建构形式化”方法、数形结合的思想、变换法等等，都是数学分析中重要的思想方法，在教学过程中要通过提问引起学生注意，抓住时机反复渗透。一开始就可提问：数学分析研究对象是什么？研究的基本工