(课程标准卷地区专用)2013高考数学二轮复习专题限时集训(十四)第14讲文(解析版)

-1-专题限时集训(十四)[第14讲圆锥曲线的定义、图形、方程与性质](时间：45分钟)1．已知抛物线y2＝16x的准线经过双曲线x2a2－y28＝1(a0)的一个焦点，则双曲线的离心率为()A．2B.3C.2D．222．已知椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值为()A．3B.5153或15C.5D.253或33．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为()A．－2B．－8116C．1D．04．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在5．已知A1，A2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点，椭圆C上异于A1，A2的点P恒满足kPA1·kPA2＝－49，则椭圆C的离心率为()-2-A.49B.23C.59D.536．已知P点是以F1，F2为焦点的双曲线x2a2－y2b2＝1上的一点，若PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝2，则此双曲线的离心率等于()A.5B．5C．25D．37．设F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为()A.23B．1C.43D.538．已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝13B．a2＝132C．b2＝2D．b2＝129．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率为________．10．短轴长为5，离心率e＝23的椭圆的两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________．11．F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为________．12．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e＝22，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x－3y－3＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)直线y＝x交椭圆C于A，B两点，D为椭圆上异于A，B的点，求△ABD面积的最大值．-3-13．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点)，试问是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B点，使|AC|＝|BC|？并说明理由．14．设直线l：y＝k(x＋1)与椭圆x2＋3y2＝a2(a0)相交于A，B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．(1)证明：a23k21＋3k2；-4-(2)若AC→＝2CB→，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．-5-专题限时集训(十四)【基础演练】1．C[解析]因为抛物线y2＝16x的准线方程为x＝－4，所以双曲线的半焦距为c＝a2＋8＝4，解得a＝22，所以双曲线的离心率为e＝ca＝422＝2.2．D[解析]当焦点在x轴上时，5－m5＝105，解得m＝3；当焦点在y轴上时，m－5m＝105，解得m＝253.3．A[解析]设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有y2＝3(x2－1)，所以PA1→·PF2→＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝4x2－x－5＝4x－182－8116，其中x≥1.因此，当x＝1时，PA1→·PF2→取得最小值－2.4．D[解析]设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为A，B两点它们到直线x＝－2的距离之和等于5，所以x1＋2＋x2＋2＝5.所以x1＋x2＝1.由抛物线的定义得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝3.而过抛物线焦点弦的最小值(当弦AB⊥x轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的抛物线．【提升训练】5．D[解析]设P(x0，y0)，则y0x0＋a×y0x0－a＝－49，化简得x20a2＋y204a29＝1，可以判断b2a2＝49，e＝1－ba2＝1－49＝53.6．A[解析]根据PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝2，可得△PF1F2为直角三角形且|PF2|＝2|PF1|，根据双曲线定义得|PF2|－|PF1|＝2a，由此得|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，根据勾股定理(2a)2＋(4a)2＝(2c)2，由此得c2a2＝5，即e＝5.7．C[解析]根据椭圆定义|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，两式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，即(|AF1|＋|BF1|)＋(|AF2|＋|BF2|)＝4，而|AF1|＋|BF1|＝|AB|，|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，所以3|AB|＝4，即|AB|＝43.-6-8．D[解析]因为椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，c2＝5，所以a2＝b2＋5.因为C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，C1恰好将线段AB三等分，设渐近线与椭圆C1交于C，D两点，由椭圆及圆的对称性得|OC|2＝a29＝5a2b2b2＋4a2＝5a4－25a25a2－5，a2＝112，b2＝12.9.17[解析]因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，所以b＝4a，c2＝17a2，e＝17.10．6[解析]由题知2b＝5，ca＝23，即b＝52，a2－b2a2＝49，解得a＝32，b＝52，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝4×32＝6.11.52[解析]本题主要考查抛物线的定义．属于基础知识、基本运算的考查．|AF|＋|BF|＝6，由抛物线的定义即AD＋BE＝6，又线段AB的中点到y轴的距离为12(AD＋BE)＝3，抛物线的准线为y＝－12，所以线段AB的中点到y轴的距离为52.12．解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，则由已知得|－c－3×0－3|1＋3＝2c，解得c＝1，又ca＝22，∴a＝2，故b2＝a2－c2＝2－1＝1.∴椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)联立x2＋2y2－2＝0，y＝x，解得x2＝23，故x1＝63，x2＝－63.∴A63，63，B－63，－63，-7-解得|AB|＝433.欲使△ABD面积最大，则D点要离y＝x的距离最大，D点应在与y＝x平行且与椭圆相切的直线l上，设直线为y＝x＋λ，联立方程x2＋2y2－2＝0，y＝x＋λ，消去y得3x2＋4λx＋2λ2－2＝0.令Δ＝16λ2－4×3×(2λ2－2)＝0，解得λ＝±3，则直线l：x－y±3＝0.故点D到直线l的距离为两平行直线的距离d＝32＝62，∴S△ABD＝12×|AB|·d＝12×433×62＝2，即△ABD面积的最大值为2.13．解：∵e＝ca＝22，a＋c＝2＋1，所以a＝2，c＝1，∴b＝1，椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)由(1)得F(1,0)，所以0≤m≤1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y＝k(x－1)，代入x22＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－22k2＋1，①∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－2k2k2＋1.设AB的中点为M，则M2k22k2＋1，－k2k2＋1，∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCM·kAB＝－1，∴k2k2＋1m－2k22k2＋1·k＝－1⇔(1－2m)k2＝m.∴当0≤m12时，k＝±m1－2m，即存在这样的直线l；当12≤m≤1，k不存在，即不存在这样的直线l.-8-14．解：(1)证明：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故y＝k(x＋1)可化为x＝1ky－1.将x＝1ky－1代入x2＋3y2＝a2，消去x，得1k2＋3y2－2ky＋1－a2＝0.①由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4k2－41k2＋3(1－a2)0，整理得1k2＋3a23，即a23k21＋3k2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由①，得y1＋y2＝2k1＋3k2.由AC→＝2CB→，得y1＝－2y2，代入上式，得y2＝－2k1＋3k2.于是，△OAB的面积S＝12|OC|·|y1－y2|＝32|y2|＝3|k|1＋3k2≤3|k|23|k|＝32，其中，上式取等号的条件是3k2＝1，即k＝±33.由y2＝－2k1＋3k2，可得y2＝±33.将k＝33，y2＝－33及k＝－33，y2＝33这两组值分别代入①，均可解出a2＝5，所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x2＋3y2＝5.