01.量子力学基础知识

01.量子力学基础知识【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态(1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ·mol-1为单位的能量。解：811412.99810ms4.46910s670.8mc417111.49110cm670.810cm3414123-1-16.62610Js4.469106.602310mol178.4kJmolAEhNs【1.2】实验测定金属钠的光电效应数据如下：波长λ/nm312.5365.0404.7546.1光电子最大动能Ek/10-19J3.412.561.950.75作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν0)。解：将各照射光波长换算成频率v,并将各频率与对应的光电子的最大动能Ek列于下表：λ/nm312.5365.0404.7546.1v/1014s－19.598.217.415.49Ek/10－19J3.412.561.950.75由表中数据作图，示于图1.2中4567891001234Ek/10-19J1014g-1图1.2金属的kE图由式0khvhvE推知0kkEEhvvv即Planck常数等于kEv图的斜率。选取两合适点，将kE和v值带入上式，即可求出h。例如：19341412.701.05106.60108.5060010JhJss图中直线与横坐标的交点所代表的v即金属的临界频率0v，由图可知，14104.3610vs。因此，金属钠的脱出功为：341410196.60104.36102.8810WhvJssJ【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s-1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？解：2012hvhvmv12018123414193122.9981026.626105.46410300109.10910hvvmmsJssmkg1341412315126.626104.529109.109108.1210Jsskgms【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：（a）质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s-1的尘埃；（b）动能为0.1eV的中子；（c）动能为300eV的自由电子。解：根据关系式：(1)34221016.62610Js6.62610m10kg0.01mshmv3412719-11(2)26.62610Js21.67510kg0.1eV1.60210JeV9.40310mhhpmT34311911(3)26.62610Js29.10910kg1.60210C300V7.0810mhhpmeV【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。解：根据deBroglie关系式：34311951226.6261029.109101.602102102.74210hhhpmmeVJskgCVm【1.6】对一个运动速度c（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：1vvvv2hhEmpm①②③④⑤结果得出12mm的结论。上述推导错在何处？请说明理由。解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：/Ehvph式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：pm知①，②，④和⑤四步都是正确的。微粒波的波长λ服从下式：/uv式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ，但③中用了/uv，显然是错的。在④中，Ehv无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能，则⑤也不正确。【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000m·s-1），尘埃（质量10-9kg，速度10m·s-1）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg，速度1m·s-1）、原子中电子（速度1000m·s-1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：子弹：343416.26106.63100.01100010%hJsxmmvkgms尘埃：3425916.626106.6310101010%hJsxmmvkgms花粉：34201316.626106.631010110%hJsxmmvkgms电子：3463116.626107.27109.10910100010%hJsxmmvkgms【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度为的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：3431193102/10%6.626101029.109101.60210103.8810hhxmmeVmJskgCVm这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约610m）观察不到电子衍射（用100000V电压加速电子）。解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：991111.22610/11.22610100001.22610xhhxmphVmm这不确定度约为光学光栅周期的10－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5倍，用光学光栅观察不到电子衍射。解法二：若电子位置的不确定度为10－6m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：3462816.62610106.62610xhJspxmJsm在104V的加速电压下，电子的动量为：31194231229.109101.60210105.40210xxpmmeVkgCVJsm由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：2812315arcsinarcsin6.62610arcsin5.40210arcsin100xxoppJsmJsm这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射。【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符：22,,,log,sin,,dddxidxdxdx解：由线性算符的定义：ijijˆˆˆA()AA22dd,,dxdxx为线性算符;而didx为线性自轭算符.【1.11】2axxe是算符22224daxdx的本征函数，求其本征值。解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：22222222244axddaxaxxedxdx2222224axaxdxeaxxedx22222222232323242444axaxaxaxaxaxaxdeaxeaxedxaxeaxeaxeaxe266axaxea因此，本征值为6a。【1.12】下列函数中，哪几个是算符22ddx的本征函数？若是，求出本征值。3,sin,2cos,,sincosxexxxxx解：2x2dedx，xe是22ddx的本征函数，本征值为1。22dsinx1sinx,dxsinx是22ddx的本征函数，本征值为1。22d(2cosx)2cosxdx【1.13】ime和cosm对算符did是否为本征函数？若是，求出本征值。解：imimdieied，imimme所以，ime是算符did的本征函数，本征值为m。而cossinsincosdimimmimmcmd所以cosm不是算符did的本征函数。【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。证：在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数为：2sinnnxxll01xn=1，2，3，……令n和n’表示不同的量子数，积分：''00'0''''0''''0''''22sinsin2sinsinsinsin222sinsinsinsinllnnlllnxnxxxddxllllnxnxdxlllnnnnxxlllnnnnllnnnnxxllnnnnnnnnnnnnn和'n皆为正整数，因而'nn和'nn皆为正整数，所以积分：'00lnnxxd根据定义，nx和'nx互相正交。【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为2sinnnxxll1,2,3n式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标0xl，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：222n222hd2nπxhd2nπnπxˆHψ(x)-(sin)-(cos)8πmdxll8πmdxlll222(sin)8hnnnxmllll222222222sin()88nhnnxnhxmlllml即：2228nhEml（2）由于ˆˆx()(),xnnxcx无本征值，只能求粒子坐标的平均值：xlxnsinlxlxnsinlxxˆxxl*lnl*nd22dx000xlxncosxldxlxnsinxllld221220022000122sinsind222lllxlnxlnxxxlnlnl2l（3）由于ˆˆp,pxnnxxcx无本征值。按下式计算px的平均值:1*0ˆdxnxnpxpxx1022sinsind2nxihdnxxlldxll20sincosd0lnihnxnxxlll【1.16】求一维势箱中粒子在1和2状态时，在箱中0.49~0.51ll范围内出现的概率，并与图1.3.2（b）相比较，讨论所得结果是否合理。解：（a）12sinxxll2212sinxxll222sinxxll22222sinxxll由上述表达式计算21x和22x，并列表如下：/xl01/81/41/33/81/2211/xl00.2931.0001.5001.7262.000212/xl01.0002.0001.5001.0000/xl5/82/33/47/81211/xl1.7261.5001.0000.2930212/xl1.0001.5002.0001.0000根据表中所列数据作2nxx