01第一节定积分概念

第五章定积分及其应用不定积分是微分法逆运算的一个侧面,本章要介绍的定积分则是它的另一个侧面.定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题.古希腊的阿基米德)1(用“穷竭法”,我国的刘徽用“割圆术”,都曾计算过一些几何体的面积和体积,这些均为定积分的雏形.直到17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念,并发现了积分与微分之间的内在联系,给出了计算定积分的一般方法,从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微分学与积分学联系在一起,构成完整的理论体系——微积分学.本章先从几何问题与力学问题引入定积分的定义,然后讨论定积分的性质、计算方法以及定积分在几何与经济学中的应用.第一节定积分概念分布图示★引言★曲边梯形★曲边梯形的面积★变速直线运动的路程★变力沿直线所作功★定积分的定义★定积分存在定理★定积分的几何意义★定积分的物理意义★例1★例2★求定积分过程中的辩证思维★定积分的近似计算★例3★内容小结★课堂练习★习题5-1讲解注意：一、引例：曲边梯形的面积变速直线运动的路程二、定积分的概念定义1设)(xf在],[ba上有界,在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分割成n个小区间],[10xx,],[21xx,,],[1nnxx,各小区间的长度依次为,011xxx,122xxx1,nnnxxx.在每个小区间],[1iixx上任取一点),(1iiiixx作函数值)(if与小区间长度ix的乘积iixf)(),,2,1(ni,并作和式,)(1niiinxfS记},,,,max{21nxxx如果不论对],[ba怎样的分法,也不论在小区间],[1iixx上点i怎样取法,只要当0时,和nS总趋于确定的极限I,我们就称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分,记为niiibaxfIdxxf10)(lim)(，其中)(xf叫做被积函数,dxxf)(叫做被积表达式,x叫做积分变量,],[ba叫做积分区间.三、求定积分过程中的辩证思维无论是求曲边梯形的面积，还是求变速直线运动的路程，初等数学都无法解决，而高等数学可迎刃而解.奥妙何在?奥妙就在于恩格斯所指出的:“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学——其中最主要的部分是微积分——本质上不外是辨证法在数学方面的应用从初等数学到变量数学的过渡，反映了人类思维从形式逻辑向辨证逻辑的跨越，是人类的认识能力由低级向高级的发展.求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的前两步，即“分割”和“求和”，是初等数学方法的体现，而且也是初等数学方法中形式逻辑思维的体现.只有第三步“取极限”这种蕴含于变量数学中的丰富的辨证逻辑思维，才使得初等数学无法解决的问题柳暗花明，别开洞天!在第一章极限部分已指出极限方法中蕴含着丰富的辨证思维，在求定积分过程中关键的步骤是取极限,因而辨证思维也体现得很充分.定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、近似与精确、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已知，体现了对立统一法则.同时也体现了否定之否定法则:为求总量U，在取极限过程中，当n时，一方面使积分和niiixf1)(中的积分元素iixf)(转化为总量U的微分,)(dxxfdU这是对总量U的否定，这次否定的结果得到了U的微分,dU这是对总量U的无限项细分；另一方面，当n时，积分和niiixf1)(转化为对微分dU的无限项相加，这是对dU的否定，这一次否定的结果得到了总量U，这是对dU的无限积累.正是由于求定积分过程中包含着丰富的辨证思维，才使得高等数学——主要是微积分——巧妙地、有效地解决了初等数学所不能解决的问题.四、定积分的近似计算矩形法的几何意义非常明确，就是用小矩形的面积近似作为小曲边梯形的面积，总体上用阶梯形的面积作为整个曲边梯形面积的近似值定积分的近似计算法很多,这里不再作介绍,随着计算机应用的普及,利用现成的数学软件计算定积分的近似值已变得非常方便,在本课的数学实验中（见光盘）读者可具体进行实践.例题选讲：定积分的概念例1（E01）利用定积分的定义计算定积分102dxx.解因函数2)(xxf在]1,0[上连续，故可积.从而定积分得值与对区间]1,0[得分法及i的取法无关.为便于计算，将]1,0[n等分，如图，则.1nxi于是0;n取每个小区间的右端点,i则),,2,1(1nini故ninnininiiiniiinnnixxfdxx12321120101021lim1limlim)(lim6)12)(1(1lim)321(1lim322223nnnnnnnn.31121161limnnn例2利用定积分表示下列极限..1cos1cos12cos21cos1limnnnnnnnnnn解原极限nnininin1coslim1易见，若取,nixi则],,[,11iiiixxninx原极限niiiinx1coslim由此可见，被积函数应取为,cos)(xxxf注意到)(xf在]1,0[上连续，因而是可积的.故有原极限.cos10xdxx注:今后可直接计算出上述积分结果为].11cos1[sin定积分的近似计算例3用矩形法计算定积分102dxex的近似值.解把区间十等分，设分点为),10,,1,0(ixi设相应的函数值为),10,,1,0(2ieyixi列表如下:i012345ix00.10.20.30.40.5iy1.000000.990050.960790.913930.852140.778806789100.60.70.80.910.697680.612630.527290.444860.36788利用左矩形公式，得.77782.01001)(910102yyydxex利用右矩形公式，得.71461.01001)(1021102yyydxex利用梯形法公式，得92110010)(2110012yyyyydxex实际上十前面两值得平均值.课堂练习1.将和式极限:nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分.2.利用定积分的几何意义,说明下列等式:).0(42022aadxxaa