02-07数值分析试题

1研究生2002级数值分析一（12分）、对于积分10,2,1,0,999ndxxxn。（1）试推导递推公式,2,1,19991nnIInn；（2）分析上述算法的数值稳定性；（3）若上面算法不稳定，请选择合适的算法，并分析其稳定性。二（12分）、解方程组00001.8800001.626221xx和00002.8800001.626221xx，就所观察到的现象进行分析。三（12分）、设方程组7989783212121xxxxxxx；（1）适当调整方程的排列顺序，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛？说明收敛原因。（2）取初始向量Tx0,0,00，用Gauss-Seidel迭代求近似解2x，并求其kkxx1误差。四（12分）、（1）已知函数4xexf，在[0,1]内三点0，1/2，1的函数值，求其二次插值的余项；（2）三个节点如何安排能使其余项达最小，此时人余项为多少？五（12分）、对于方程02lnxx，若求［-1.9，-1］内的根，分别选取迭代方程2lnxx和2xex，它们的收敛性如何？再写出牛顿迭代公式。六（10分）、设100,5yxxyy，解析解xexy25262515，分别取45.0,4.0,2.0,1.0h，利用Euler方法计算得y(10)的近似值分别为1.96，1.96，5.2851，142.8863，对此现象进行分析。七（10分）、设xexf，分别取步长0001.0,01.0,5.0h，用中心差商公式计算0f的近似值并求出误差，对结果作分析比较。八（10分）、求不超过2次的多项式xP2，使其满足条件：21f，32f，12f，并写出其误差估计。九（10分）、对于插值型求积公式201020fAfAdxxf。（1）写出两点牛顿—科特斯求积公式及其截断误差表达式，求出其代数精度；（2）若使其具有最高的代数精度，则两个求积节点如何安排？代数精度为多少？写求求积公式。2研究生2003级数值分析试题一、用3.14作为的一个近似值，它有几位有数字？它的绝对误差限、相对误差限各多少？二、为求0123xx在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的迭代公式：（1）211xx；（2）3121xx。试分析每一种迭代的收敛性。三、对于方程组34101522121xxxx，适当调整方程的次序，考查它对于Jacobi迭代过程的收敛性。若收敛，写出相应的迭代公式；并取初值Tx0,00，迭代计算出1x。四、对下面给定的数据表求直线按拟合x1234y1.94592.39792.83323.2958五、对于方程组220001.111121xx，若右端项有误差0001.00b，估计解的相对误差。六、为计算积分1020,,1,0,10ndxxxInn，请推导出数值稳定的递推计算公式。七、（1）已知函数4xexf在［0,1］内三点0，1/2，1的函数值，估计二次插值的误差；（2）三个节点如何安排能使其误差达最小，此时误差为多少？八、分别用梯形公式和二点Gauss公式计算积分10dxex，比较二者的精度。九、分析下面单步法公式是几阶方法。011101,,2,kkkkkkkkkkyxfyxfhyyyxhfyy3研究生2004级数值分析试题一（10分）、对积分1010,,1,0,10ndxxxInn，推导出数值稳定的递推计算公式，并分析其稳定性。可能用到的数据：548811636.06.0e606530660.05.0e49182470.14.0e8221188.16.0e73325302.155.0e56831219.145.0e69045885.1525.0e60801420.1475.0e64872127.15.0e73.13二（10分）、解方程组001.1010001.828221xx和002.1010001.828221xx，并分析所得结果。三（10分）、对方程组43132121xx，验证Jacobi迭代法的收敛性，则取Tx0,00，迭代计算1x；若发散，则说明理由，并调整为Jacobi收敛的方程组。四（10分）、已知函数xf的三点(0,1)，(-1,5)，(2,-1)及00f，求其不超过3次的插值多项式xP3。五（10分）、已知函数xf在区间[-1,1]上的三点11f，00f，11f，问表达式1,0,23210,1,23212323xxxxxxxS是否是xf的分段三次样条插值函数，请说明理由，需要附加条件吗？六（10分）、求形如xbaey的经验公式，拟合如下数据：x12346810121416y4.006.418.018.799.539.8610.3310.4210.5310.61七（10分）、用两点Gauss公式解积分方程103131xdssyxxy。八（10分）、设xxexf4，当h分别取0.1，0.05，0.025时，求5.0x上的一阶导数的中心差商值，并作Richarolson外推。九（10分）、对于2042yxyy。（1）取1.0h，用式Euler法计算2.0y；（2）若分别取1.1,9.0,5.0h时，Euler方法是否是稳定的？（3）Euler公式为几阶方法？十（10分）、注：本题不全4研05级数值分析试题一、取0I为2三位有效数字1.41。1.0I的误差约为多少？2.计算序列｛0I｝的递推公式为：1101nnII，,2,1n，则10I的误差多大？这个算法稳定吗？3.函数41.02ln的计算公式是不是良态的？为什么？二、设方程组0001.420001.221121xx。1.若右端项有误差Tb0001.0,0，估计解的相对误差；2.对于我们学过的线性方程组的直接法，分别从算法的适用范围，算法复杂度与稳定性的角度谈谈你的理解。3.在你学过的算法中，你认为哪个解上面的方程组最好。三、设方程组11222321xx。1.若高斯—塞尔德迭代法计算，收敛性如何？2.取Tx0,00，计算至2x，此时误差多大？3.用Jacobi迭代法计算收敛吗？当两个算法都收敛时，哪个更快？四、对于下面的数据表，求不超过3次的插值多项式xP3：x-101xf012xf0五、已知数据表ix1x2x3x4x5x6x7x8x9x10xiixfy1y2y3y4y5y6y7y8y9y01y1.用几次多项式插值可以求xf的近似函数，这样做好不好，为什么？在工程计算中你怎么选择插值方法？2.若用最小二乘法，你将如何选取xf的近似函数？最小二乘法原理是什么？在工程计算中10次以上的拟合多项式可，为什么？3.对插值与拟合分别举一个应用方向。六、对于积分01sinxdxAI，准确值为A。1.用梯形公式计算，并求误差；52.用两高斯公式计算，并求误差；3.若达到两点高斯公式的精度，梯形公式至少需复化多少个区间？七、常微分方程初值问题011,2yxxyy。1.写出显式欧拉与改进欧拉公式，并指出两方法的阶。2.利用不同的步长1.1,5.0,1.0h，计算结果都稳定吗？你认为哪个步长的计算最好，你对步长的选取有何理解？3.谈谈单步法与多步法的比较，谈谈显式算法与隐式算法的比较。八、对于方程01xxe在0.5附近的根。1.选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛性。2.若上面公式为线性收敛的则用什么方法可改善迭代。3.构造一个你认为最好的迭代公式，迭代计算一次，并指出方法的阶。九、对于线性方程组、一维插值、多项式拟合、积分、微分、常身分方程、变量方程求根，方阵的特征值，这些模型的数值方法在中Matlab的函数名是什么？备注：一至八题为12分，第九题为4分。325886.03314sin945409.03314sin62006/2007学年数值分析题第一、二、三、四、九题12分，其余10分一、对于递推计算序列：,2,11051nIInn，若7.130I。（1）0I的误差多大？（2）计算到6I时误差多少？（3）这个计算过程稳定吗？（4）简述你对算法的数值稳定性的理解。二、求一个次数不高于3次的多项式xP，使它满足12,11,000PPPP。请直接写出其误差估计式。若再加上条件02P，请直接指出哪种方法能构造出充分光滑的多项式？三、设xf在ba,上连续，（1）求xf的零次最佳一致逼近多项式xP。（2）请直接指出最佳一致逼近的数学刻划。（3）若已知xf在ba,上离散数据，则求最佳逼近多项式的原理是什么？四、对于积分10dxex。（1）分别用辛普森公式和两点高斯公式；（2）请直接指出这两个公式的代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过61021。五、设方程组33001.212121xx，若常数项有0001.0b，则估计解的相对误差限。六、设方程11212521xx，（1）用最简单的方法判别高斯—塞德尔迭代是否收敛？（2）用高斯—塞德尔迭代计算两步，并计算误差12xx。七、对于方程033x，（1）若求其在区间[1,2]内的根，则用二分法计算多少步才能达到精度21021。（2）给出一个收敛的求33的迭代公式，并指出其收敛阶。八、设方程1010yyy，（1）取025.0h，用显式欧拉公式计算一步；（2）若取25.0h，与025.0h相比，稳定性如何？（3）若用隐式欧拉公式计算，则稳定性如何？九、对于下面一些实际工程问题，你认为用哪类数值分析方法好？1.误差函数aaxdxexerf22注：因看不清楚具体数值，用a,b代常出现在统计应用和一些抛物线类的微分方程的解中。如果不能解析求解，则用哪类数值分析方法求解？2.机床加工问题。已知机翼断面的下轮廓线上的部分数据：x035791112131415y01.21.72.02.12.01.81.21.01.6用程控铣床加工时，每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。例如，如果工艺要求铣床沿x方7向每次只能移动0.1单位，这时就需要求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。试完成加工所需的数据，并求出0x处的曲线斜率。请指出手忙脚乱的数值分析方法。3.水深和流速的关系问题。在水文数据的测量中，不同水深的速度是不同的，水文数据的测量是天天进行的，为了减少测量的工作量，希望确定水深和流速之间的关系，为此对某河流测量了一系列不同水深和流速值，请指出所用的数值分析方法。水深x00.10.20.30.40.50.60.70.80.9流速y3.1953.22993.25323.26113.25163.22823.1873.12663.05942.97574.Malthus人口模型。英国统计学家Malthus在担任牧师期间，查看了教堂一百多年的人口出生资料，发现人口出生率是一个常数，于1798处在《人口原理》一书中提出了闻名于世的M