03第三节一般常数项级数

第三节一般常数项级数上节我们讨论了关于正项级数收敛性的判别法，本节我们要进一步讨论关于一般常数项级数收敛性的判别法，这里所谓“一般常数项级数”是指级数的各项可以是正数、负数或零.先来讨论一种特殊的级数——交错级数，然后再讨论一般常数项级数.分布图示★交错级数★例1★例2★绝对收敛与条件收敛★例3★例4★例5★例6★例7★绝对收敛级数的性质（1）★绝对收敛级数的性质（2）★例8★内容小结★课堂练习★习题12-3★返回内容要点一、交错级数收敛性的判别法；二、绝对收敛：如果1||nnu收敛，则称1nnu为绝对收敛；根据这个结果，我们可以将许多一般常数项级数的收敛性判别问题转化为正项级数的收敛性判别问题；条件收敛：如果1||nnu发散，但1nnu收敛，则称1nnu条件收敛.三、了解绝对收敛级数的性质：绝对收敛的级数重排后得到的新级数也绝对收敛，且其和相等；四、级数的乘法运算：按“对角线法”排列所组成的级数)()(1121122111vuvuvuvuvuvunnn称为级数1nnu与1nnv的柯西乘积.例题选讲交错级数判别法的应用例1（E01）判断级数11)1(nnn的收敛性.解易见题设级数的一般项nunnn11)1()1(满足:)1(111nn);,3,2,1(n)2(.01limnn所以级数11)1(nnn收敛,其和,1s用nS近似S产生的误差.11||nrn注：判别交错级数11)()1(nnnf（其中0)(nf）的收敛性时，如果数列)}({nf单调减少不容易判断，可通过验证当x充分大时0)(xf，来判断当n充分大时数列)}({nf的单调减少；如果直接求极限)(limnfn有困难，亦可通过求)(limxfx（假定它存在）来求)(limnfn.例2（E02）判断11ln)1(nnnn的收敛性.解由于nnunln0),1(n所以11ln)1(nnnn是交错级数.令xxxfln)(),3(x有2ln1)(xxxf0),3(x即3n时，nnln是递减数列,又利用洛必达法则有xxnnxxlnlimlnlimxx1lim,0则由莱布尼茨定理知该级数收敛.绝对收敛与条件收敛例3（E03）判别级数11)1(npnn)0(p的收敛性.解由,1)1(111npnpnnn易见当1p时，题设级数绝对收敛;当10p时，由莱布尼茨定理知11)1(npnn收敛，但11npn发散，故题设级数条件收敛.例4（E04）判别级数12sinnnn的收敛性.解,1sin22nnn而121nn收敛,12sinnnn收敛,故由定理知原级数绝对收敛.例5判定级数2112111nnnnn的收敛性.解由,1121||2nnnnu有nnnnu1121||e21),(n而,121e可知0||nu),(n因此所给级数发散.例6（E05）判别级数11)!1()1(nnnnn的收敛性.解这是一个交错级数,令,)!1()1(1nnunnn考察级数1||nnu是否绝对收敛,采用比值审敛法:||||lim1nnnuu12)!1(]!1)1[()1(limnnnnnnn)2()1(1lim2nnnnnnnnnn11lime,1所以原级数非绝对收敛.由,1||||lim1nnnuu可知当n充分大时,有|,|||1nnuu故,0limn所以原级数发散.例7判别级数11211nnnn的收敛性.解因为nnnnuunn11)1(1||||221nnnnnn2212323,1即||||1nnuu),2,1(n且1lim||lim2nnunnn.0由交错级数审敛法，原级数收敛.另一方面,1||2nnun22nnn,21n而121nn发散,故1211||nnnnnu发散.于是级数1211)1(nnnn是条件收敛的.柯西乘积的应用例8（E06）证明,)1(020nnnnqnq.1||q证由1||q知级数0nnq绝对收敛，故可写成,020nnnncq其中nkknknqqc0nknq01,)1(nqn3,2,1,0n由定理6,得.)1(020nnnnqnq课堂练习1.判别级数21)1(nnnn的收敛性.2.设正项数列}{na单调减少,且级数1)1(nnna发散,试问级数111nnna是否收敛并说明理由?