04第四节函数的极限

第四节函数的极限数列可看作自变量为正整数n的函数:)(nfxn,数列}{nx的极限为a，即：当自变量n取正整数且无限增大)(n时，对应的函数值)(nf无限接近数a.若将数列极限概念中自变量n和函数值)(nf的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量x的某个变化过程中，如果对应的函数值)(xf无限接近于某个确定的数A，则A就称为x在该变化过程中函数)(xf的极限.显然，极限A是与自变量x的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式.本节分下列两种情况来讨论：1、自变量趋于无穷大时函数的极限；2、自变量趋于有限值时函数的极限.分布图示★自变量趋向无穷大时函数的极限★例1★例2★例3★自变量趋向有限值时函数的极限★例4★例5★例6★左右极限★例7★例8★例9★例10★函数极限的性质★内容小结★课堂练习★习题1-4★返回内容要点一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限三、左右极限四、函数极限的性质：唯一性有界性保号性例题选讲自变量趋于无穷大时函数的极限例1(E01)证明.0sinlimxxx证因为0sinxxxxsin,1x于是,0可取,1X则当Xx时,恒有,0sinxx故.0sinlimxxx证毕.例2(E02)用极限定义证明.021limxx证对于任意给定的,0要使021xx21只要,12x即2ln1lnx)1(不妨设就可以了.因此，对于任意给定的,0取,2ln1lnX则当Xx时，021x恒成立.所以.021limxx注:同理可证：当10q时，.0limxxq而当1q时，.0limxxq例3证明.111limxxx证由)1(11xx12x12x)1(x限制，现在，,0令12x1,12xx于是，若取,12X则当Xx时，就有)1(11xx即.111limxxx证毕.自变量趋于有限值时函数的极限例4(1)(E03)证明CCxx0lim(C为常数）.证任给,0任取,0当00xx时，Axf)(CC0恒成立，.lim0CCxx例4(2)证明.lim00xxxx证,)(0xxAxf任给,0取,当00xx时，0)(xxAxf成立，.lim00xxxx例5(E04)证明211lim21xxx.证函数在点1x处没有定义,Axf)(2112xx,1x任给,0要使,)(Axf只要取,则当10x时,就有,2112xx.211lim21xxx例6证明:当00x时,00limxxxx.证Axf)(0xx00xxxx,00xxx任给,0要使,)(Axf只要00xxx且,0x取00,minxx则当00xx时,就有,0xx.lim00xxxx子序列的收敛性例7验证xxx0lim不存在.证xxx0lim)1(limlim00xxxx;1xxx0lim1limlim00xxxx.1左右极限存在但不相等.)(lim0xfx不存在.左右极限的概念例8(E05)设,0,10,)(xxxxxf求)(lim0xfx.解因为)(lim0xfx)1(lim0xx,1)(lim0xfxxx0lim.0即有)(lim0xfx),(lim0xfx所以)(lim0xfx不存在.例9设,0,10,1)(2xxxxxf求)(lim0xfx.解0x是函数的分段点，如下图.例10(E06)设),0(11)(/1/1aaaxfxx求).(lim0xfx解)(xf在0x处没有定义，而)(lim00xfx11lim1100xxxaa1)(lim00xfxxxxaa110011lim1故)(lim0xfx不存在.课堂练习1.判别下列极限是否存在,如果存在，求出其值..(1);2lim/10xx(2)xxe/1lim;(3)2/10limxxe.2.若,0)(xf且.)(limAxf问:能否保证有0A的结论?试举例说明.