04第四节实对称矩阵的对角化

第四节实对称矩阵的对角化一个n阶矩阵A具备什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题.本节我们仅对A为实对称矩阵的情况进行讨论.实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.分布图示★实对称矩阵的性质(1)★实对称矩阵的性质(2)★对称矩阵对角化的方法★例1★例2★例3★例4★内容小结★课堂练习★习题4-4内容要点定理1实对称矩阵的特征值都为实数.注:对实对称矩阵A，因其特征值i为实数,故方程组0)(XEAi是实系数方程组,由0||EAi知它必有实的基础解系,所以A的特征向量可以取实向量.定理2设21,是对称矩阵A的两个特征值,21,pp是对应的特征向量.若21,则1p与2p正交.定理3设A为n阶实对称矩阵,是A的特征方程的k重根,则矩阵EA的秩knEAr)(,从而对应特征值恰有k个线性无关的特征向量.定理4设A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使APP1,其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.与上节将一般矩阵对角化的方法类似，根据上述结论，可求正交变换矩阵P将实对称矩阵A对角化的步骤为：(1)求出A的全部特征值s,,,21;(2)对每一个特征值i,由0)(XAEi求出基础解系（特征向量）;(3)将基础解系（特征向量）正交化；再单位化;(4)以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵P，使APP1.注：P中列向量的次序与矩阵对角线上的特征值的次序相对应.例题选讲例1(E01)设实对称矩阵,320222021A求正交矩阵P,使APP1为对角矩阵.解矩阵A的特征方程为||AE32022202100)5)(2)(1(,11,22.53当11时，由,0)(xAE得基础解系.)1,2,2(1Tp当22时，由,0)2(xAE得基础解系.)2,1,2(2Tp当53时，由,0)5(xAE得基础解系.)2,2,1(3Tp不难验证321,,ppp是正交向量组,把321,,ppp单位化，得||||111pp,3/13/23/2||||222pp,3/23/13/2||||333pp3/23/23/1令),,(321P,3/23/23/13/23/13/23/13/23/2则APPAPPT1.500020001例2(E02)设有对称矩阵,310130004A试求出正交矩阵P,使APP1为对角阵.解||AE3101300042)4)(2(,21.432对,21由0)2(xAE基础解系1p,110对,432由0)4(xAE基础解系2p,0013p.1102p与3p恰好正交，所以321,,ppp两两正交.再将321,,ppp单位化，令)3,2,1(||||ippiii得1,2/12/102,0013.2/12/10故所求正交矩阵),,(321P2/102/12/102/1010且APP1.400040002例3已知aaA2020002(其中0a)有一特征值为1,求正交矩阵P使得APP1为对角矩阵.解A的特征多项式为||AEaa2020002)2)(2)(2(aa由于A有特征值1，故有两种情形:若,12a则;3a若,12a则.1a但,0a所以只能是.3a从而得A的特征值为.5,1,2对,21由,0)2(xAE得基础解系;)0,0,1(1Tp对,12由,0)(xAE得基础解系;)1,1,0(2Tp对,53由,0)5(xAE得基础解系;)0,0,1(3Tp因实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必相互正交,故特征向量321,,ppp已是正交向量组，只需单位化:;)0,0,1(1T2;21,21,0T3;21,21,0T令),,(321P,2/12/102/12/10001则APP1.500010002例4设2112A,求.nA解因A对称，故A可对角化,即有可逆矩阵P及对角阵,使.1APP于是1PPA.1PPAnn由||EA2112342),3)(1(得A的特征值.3,121于是,3001n.3001n对应,11由,0)(xEA解得对应特征向量1P;11对应,32由,0)3(xEA解得对应特征向量2P.11令),(21ppP,1111求出211P.1111于是1PPAnn21111130011111n21.31313131nnnn课堂练习1.设实对称矩阵,020212022A试求出正交矩阵P,使APP1为对角阵.2.设n阶实对称矩阵A满足AA2,且A的秩为r,试求行列式)2det(AE的值.