05第五章不定积分

1不定积分一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解原函数、不定积分的概念及其性质．2．掌握不定积分的基本公式．3．掌握不定积分的换元法和分部积分法．重点原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法．难点不定积分的换元法和分部积分法．（二）内容提要1．原函数与不定积分（1）原函数设函数)(xfy在某区间上有定义，若存在函数)(xF，使得在该区间任一点处，均有xxfxFxfxFd)()(d)()(或,则称)(xF为)(xf在该区间上的一个原函数．关于原函数的问题，还要说明两点:①原函数的存在问题：如果)(xf在某区间上连续，那么它的原函数一定存在②原函数的一般表达式：若)(xF是)(xf的一个原函数，则CxF)(是)(xf的全部原函数，其中C为任意常数．(2)不定积分若)(xF是)(xf在某区间上的一个原函数，则)(xf的全体原函数CxF)(（C为任意常数）称为)(xf在该区间上的不定积分，记为xxfd)(，即CxFxxf)(d)(积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：①xxfxxfxfxxfd)(]d)([d)(]d)([或,此式表明，先求积分再求导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消．②,)()(d)(d)(CxFxFCxFxxF或此式表明，先求导数（或求微分）再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数C．对于这两个式子，要记准，要熟练运用．2．不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式如下：)1(1d(2))(d)1(1CxxxkCkxxk为常数2CxCxxxxede(4)lnd1)3(x;sindcos(6);lnd)5(CxxxCaaxaxx;tandsecdcos1)8(;cosdsin)7(22CxxxxxCxxx;tandtansec)10(;cotdcscdsin1)9(22CxxxxCxxxxx;arcsin-1d(12);cscdcotcsc)11(2CxxxCxxxx.arctan1d)13(2Cxxx3．不定积分的性质（1）积分对于函数的可加性，即xxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([,可推广到有限个函数代数和的情况，即xxfxxfxxfxxfxfxfnnd)(d)(d)(d)]()()([2121．(2)积分对于函数的齐次性，即0d)(d)(kxxfkxxkf．4．分部积分公式vuuvvudd．二、主要解题方法1．直接积分法例1计算（1）xxxd12122，（2）xxxd)2sin2(cos2．解（1）不能直接用公式，用加项减项变换，即xxxd12122=2221d3d2d1322xxxxxx=Cxxarctan32（2）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换．得原式=xxd]sin1[=xd+xxdsin=cosxxC．小结计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算．2．换元积分法（1）第一换元积分法(凑微分法）xxxfd)()]([=)(d)]([xxf）（xuCuFuuf)(d)(积分3回代CxF)]([.例2计算（1）xxaxd21，（2）xxxd)1(1．解（1）选择换元函数xu使所给积分化为基本积分xaxd形式，再求出结果．为此，令xu1，则2ddxxu，于是xxaxd21=duau=lnuaCa=Caaxln1．为简便起见，令xu1这一过程可以不写出来，解题过程写成下面形式即可,xxaxd21=)1(d1xax=Caaxln1（)1(dd2xxx称为凑微分）．（2）xxxd)1(1=)(d112xx=Cxarctan2．小结凑微分法一般不明显换新变量u，而是隐换，像上面所做，这样省掉了回代过程，更简便．（2）第二换元积分法xxfd)(）（xut)t()]t([fd=CtF)(xt1CxF)]([1（其中)(t是单调可微函数）例3计算（1）xxd111，（2）xxxd122．解（1）令tx1,则x12t,ttxd2d,于是原式=tttd12=tttd1112=]1dd[2ttt=Ctt1ln22=Cxx11ln212.（2）设txsin,txcos12,ttxdcosd,于是原式=ttttdcoscossin2=ttdsin2=ttd22cos121x1xt4=21)2(d2cos41dttt=Ctt2sin4121Ctttcossin2121=Cxxx212arcsin21．小结第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式，像xaxd)(1222也可用函数的三角代换求出结果．通常当被积分函数含有根式22xa时，可令xaxsin,当被积分函数含有根式22xa时，可令xaxtan,当被积分函数含有根式22ax时，可令xaxsec.3.分部积分法分部积分的公式为vud=uvuvd.应用此公式应注意:（1）v要用凑微分容易求出,（2）uvd比vud容易求.例4计算（1）xxxde)1(2，（2）3secdxx．解（1）选12xu，vdxexd，，xxud2d,于是原式)1(2xxex2xexd,对于xxexd再使用分部积分法,选xu，vdxexd,则xudd，vxe,从而xxexd=xxexxde=xxeCxe．原式=xe)ee(21Cxxx)12(2xxCxe（12CC）,为了简便起见，所设xu,vxe等过程不必写出来，其解题步骤如下:xxedx=xdxe=xCxxxxxxeedee.（2）3secdxx=)(tandsecxx=xxtansec)(secdtanxx=xxtansecxxxdsectan25=sectanxxxxxdsec)1(sec2=sectanxxxxdsec3+xxdsec=sectanxxxxdsec3+xxtansecln,式中出现了“循环”，即再出现了xxdsec3移至左端，整理得3secdxx=21[xxtansec+xxtansecln]+C．小结此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式,但也用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函数与三角函数乘积，还有sin(ln)dxx以及上面所讲的xxdsec3等，需多次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数C．三、学法建议1．本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元积分法与分部积分法．难点是第一换元积分法，既基本又灵活，必须多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系式．如xexd)xd(e，1d(ln)xx，xxxd2d1，sindd(cos)xxx,2secdd(tan)xxx等等．2．不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法．在具体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积分方法．如xxd)(arcsin2，先换元，令xtarcsin，再用分部积分法即可，xxd)(arcsin2=tttdcos2，也可多次使用分部积分公式．3．求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时，却十分灵活，因此应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能熟练掌握．