07级-研-矩阵论试题与答案

成绩中国矿业大学07级硕士研究生课程考试试卷考试科目矩阵论考试时间2008年01月研究生姓名所在院系学号任课教师中国矿业大学研究生培养管理科印制※1※一（20分）设矩阵101120403A，（1）求A的初等因子组；（2）求A的Jordan标准形J；（3）求可逆矩阵P使得JAPP1；（4）求kA。※2※二（20分）设微分方程组0dd(0)xAxtxx，其中311202113A，0111x（1）求A的最小多项式)(Am；（2）求Ate；（3）求该方程组的解。※3※三（10分）设A是n阶Hermite正定矩阵，定义21AxxxHA，nxC试证上述函数是向量范数。※4※四（10分）判别矩阵级数011634136kk的收敛性，若收敛，求其和。※5※五（20分）设矛盾方程组bAx，其中241131212,012213Ab（1）求A的满秩分解FGA；（2）由上面分解来计算A；（3）写出该方程组最小二乘解的通解表达式，并求出极小范数最小二乘解LSx。※6※六（10分）利用Gerschgorin圆盘定理证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)nnnAnnnnnnn（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。※7※七（10分）设,rank()mnARAn，并有QR分解：()(),nnmnnnmnmmnmnnRAQRQQO其中(),mnmmnUQQ是正交矩阵，nnR是非奇异上三角矩阵。利用2-范数的正交（酉）不变性，即2222()TbAxUbAx，证明：2minnTxRbAxRxQb※8※参考答案一（20分）设矩阵101120403A，（1）求A的初等因子组；（2）求A的Jordan标准形J；（3）求可逆矩阵P使得JAPP1；（4）求kA。答案：（1）210111120(2)(2)(1)43403IA观察得，21231,1,(2)(1)DDD因此，初等因子组为2(1),(2)5分（2）1112J10分（3）设123[,,]P，由1PAPJ，得1121233(1)(2)2(3)AAA由（1），1()0IA，解得1112其中20110.05110010.5402000IA※9※由（2），21()IA，解得2011其中12011100.50.5[,]1101010.50.540220000IA由（3）3(2)0IA，解得3010其中3011002100001401000IA1100100111,201210111PP15分（4）10010002kkkJ，12102122124021kkkkkkkAPJPkkkk20分二（20分）设微分方程组0dd(0)xAxtxx，其中311202113A，0111x（1）求A的最小多项式)(Am；（2）求Ate；（3）求该方程组的解。答案（1）3(2)IA，2()(2)Am7分（2）设()()()ztAfzemzgzabz，10分由22(2)2,(2)ttfabefbte，解得※10※22(12),ttaetbte13分因此22()(12)AtttfAeaIbAetIteA2121221ttttetttttt15分（3）解20()(1,12,1)AttTxtexettt20分三（10分）设A是n阶Hermite正定矩阵，定义21AxxxHA，nxC试证上述函数是向量范数。答案：因为A是Hermite正定矩阵，故存在可逆矩阵Q，使得QQAH3分则2212121)()(QxQxQxQxQxAxxxHTTHA8分所以，由已知结论，21AxxxHA是向量范数。10分四（10分）判别矩阵级数011634136kk的收敛性，若收敛，求其和答案：考虑0kkz其收敛半径1R，3分矩阵11634136A的半径5()6AR，7分故0kkA（绝对）收敛，※11※10522()853kkAIA10分五（20分）设矛盾方程组bAx，其中241131212,012213Ab（1）求A的满秩分解FGA；（2）由上面分解来计算A；（3）写出该方程组最小二乘解的通解表达式，并求出极小范数最小二乘解LSx。答案：（1）241112011212001112210000A，11001021,211112GF5分（2）112114221()()15633165TTTTAGGGFFF12分（3）()xAbIAAy，4yR任意16分1215116LSxAb20分六（10分）利用Gerschgorin圆盘定理证明矩阵※12※2121212311122222224333333644421(1)(1)nnnAnnnnnnn（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。答案：（1）2111111(1)(1)(1)knnkkkRkkkkkG互不交，说明A有n个不同的特征值，从而可对角化5分（2）kG关于实轴对称，如果A有复特征值必成对共轭出现，而kG中只有一个特征值，所以必为实数。10分七（10分）设,rank()mnARAn，并有QR分解：()(),nnmnnnmnmmnmnnRAQRQQO其中(),mnmmnUQQ是正交矩阵，nnR是非奇异上三角矩阵。利用2-范数的正交（酉）不变性，即2222()TbAxUbAx，证明：2minnTxRbAxRxQb证：2222220TTTTQbRxbAxUbUAxQb5分2222TTQbRxQb7分22minminTTbAxQbRxRxQb10分