08春小学五年级第03讲典型应用题(一)系统复习班教师版

讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！——学而思小学奥数讲义组学而思教育08年春季五年级系统复习班第三讲教师版Page1of10关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线.1.不封闭路线例：如图①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵.全长、棵数、株距三者之间的关系是：棵数=段数+1=全长÷株距+1全长=株距×（棵数-1）株距=全长÷（棵数-1）②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距×棵数；棵数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.棵数=段数-1=全长÷株距-1.如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵.株距=全长÷（棵数+1）.2.封闭的植树路线例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.如右图所示.棵数=段数=周长÷株距.有些植树问题，从表面上看并没有出现“植树”情节，但题意反映的是植树问题的基本数量关系．我们要认真读题，分析.第三讲典型应用题（一）植树问题讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！——学而思小学奥数讲义组学而思教育08年春季五年级系统复习班第三讲教师版Page2of10【例1】晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同)【分析】题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系．线段示意图如下：解：①每相邻两层楼之间有多少级台阶?36÷(3-1)=18(级)②从第一层走到第六层共多少级台阶?18×(6-1)=90(级)答：从第一层走到第六层需要走90级台阶．【例2】有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟?【分析】求锯的次数属植树问题思路．一根木料锯成了3段，只要锯3-1=2次，锯3根木料要2×3=6次，问题随之可求．解：①一根木料要锯成3段，共要锯多少次?3-1=2(次)②锯开三根木料要多少次?2×3=6(次)③锯三根木料要多少时间?3×6=18(分钟)综合算式：3×[(3-1)×3]=18(分钟)或3×(3-1)×3=18(分钟)答：全部锯完要18分钟．【例3】从甲地到乙地每隔45米安装一根电线杆，加上两端共53根；现在改成每隔60米安装一根电线杆．求可余下多少根电线杆?【分析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.解：①从甲地到乙地距离多少米?45×(53-1)=2340(米)②间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆?2340÷60+1=40(根)③可余下多少根电线杆?53-40=13(根)综合算式：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(根)讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！——学而思小学奥数讲义组学而思教育08年春季五年级系统复习班第三讲教师版Page3of10答：可余下13根电线杆．【拓展】在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗______面，黄旗______面．【分析】40O÷8=50（红旗）8÷2-1=33×50=150（黄旗）【例4】园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一颗树.这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？【分析】这道题的关键就在之间每3米一个，已经挖的坑，和后来改成5米挖一个坑，有多少个是重复不需要挖的，那么一步一步分析如下：（1）从第1个坑到第30个坑，共有多长？（30-1）×3=87（米）（2）改为“每5米栽一棵树”，有多少坑仍然有用？87÷15=5……125+1=6（个）（3）改为“每5米栽一棵树”，一共应挖多少个坑？300÷5=60（个）（4）还要挖多少个？60-6=54（个）答：还要挖54个才能完成任务.解题要点：对于鸡兔同笼问题，应先假设，然后把假设情形与事实情形作比较，得出两种情形下总数的差.然后找到出现这个“差”的原因是经过假设，每份数增加了.最后根据这个因果关系列式，求出份数.【例5】（1）在一个笼子里有鸡和兔共8只，鸡兔共22只脚．问鸡和兔各有多少只?【分析】鸡和兔共8只，就是说鸡、兔一共有8个头，每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚．这是一道古代的“鸡兔同笼问题”．根据题意画出图，可用图示法解答．解：(1)先画出8个头，用“〇”表示：鸡兔同笼讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！——学而思小学奥数讲义组学而思教育08年春季五年级系统复习班第三讲教师版Page4of10(2)每个头的下面画出两只脚：把8只全看做是鸡，共画了16只脚，比题中给出的脚少了22-16=6只脚．(3)再给每只鸡添上两只脚使鸡变成兔，边画边数，画够22只脚：答：笼子里有5只鸡，3只兔．（2）今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔各几只?【分析】方法一：从已知的35个头，可知鸡兔共35只；又知鸡一只有2只脚，兔一只有’4只脚，假设笼中全是鸡，那么笼中共有(2×35)=70只脚，实际上笼中有94只脚，多出(94—70)=24只脚，什么原因?因为我们把笼中的兔都当作了鸡，每只兔少算了2只脚，所以笼中兔应有(24÷2)=12只，那么鸡有(35—12)=23只．综合算式：(94—2×35)÷(4—2)=12(只)，35—12=23(只)方法二：还可假设笼中都是兔，则35只兔有(4×35)=140只脚，这比笼中实际脚的只数多(140—94)=46只，原因是把鸡都算作了兔，每只鸡多算了2只脚，总共多算了46只脚，所以鸡应该有(46÷2)=23只，兔有(35—23)=12只．综合算式：(4×35—94)÷(4—2)=23(只)，35—23=12(只)方法三：还可以这样假设；假设笼中每个动物砍掉2只脚，则鸡无脚，每只兔只剩下2只脚，笼还剩的脚共有(94—2×35)=24只，所以有24÷(4—2)=12只兔，所以鸡有35—12=23只．答：笼中有12只兔，23只鸡．【例6】鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只?【分析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200—20=180(只).现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而180÷6=30，因此有兔子30只，鸡100—30=70(只).【例7】（1）某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣3分，小聪得了60分，他做对了_______道题.讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！——学而思小学奥数讲义组学而思教育08年春季五年级系统复习班第三讲教师版Page5of10【分析】20道题全对应该得20×5=100分，还有100+60=40（分）没有得.做错(5×20-60)÷(5+3)=5(道)因此，做对的20-5=15(道).（2）春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_____道题.【分析】三人共得87+74+9=170(分)，比满分10×10×3=300(分)少300-170=130(分)因此三个人共做错：130÷(10+3)=10(道)题，共答对了30-10=20(道)题【例8】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？【分析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为6×18=108（条），所差118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．盈亏问题的一般思维方法是比较法．一般解法是：(盈+亏)÷两次分配数的差=人数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.【例9】王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元.则儿童小提琴多少钱一把?王老师带了多少钱?【分析】本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把小提琴差盈亏问题讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！——学而思小学奥数讲义组学而思教育08年春季五年级系统复习班第三讲教师版Page6of10110元，买5把小提琴差30元.从买7把变成买5把，少买了7—5=2(把)提琴，而钱的差额减少了110—30=80(元)，即80元钱可以买2把小提琴，可见小提琴的单价为每把40元.王老师带了40×7-110=170元钱.【例10】某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?【分析】由已知条件每间5人少14个床位每间7人多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(7—5)=2人，一共要多出(14+4)=18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．解：(4+14)÷(7—5)＝9(间)5×9+14=59(人)，或7×9—4=59(人)答：有宿舍9间，住宿生59人．【例11】有一批笔记本奖给三好生，如果每人发5本就多12本；如果每人发8本就多3本．问有多少本笔记本?【分析】由题意可知，第一次每人发5本，多出12本；第二次每人发8本就多出3本，这两次分配结果相差(12—3)=9本，这是因为两次分配中每人所发本数相差(8—5)=3本，多少人就相差9本呢?9÷3=3(人)，再求出一共有多少本笔记本．解：(12—3)÷(8—5)=9÷3=3(人)5×3+12=27(本)答：有27本笔记本．【例12】有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个?【分析】容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨.如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配5/3个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为4+1=5(个)梨，两次分配数之差为2-5/3=1/3(个)梨.所以有苹果(4+1)÷（2-5/3）=15(个)，有梨15×2—4=26(个).讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！——学而思小学奥数讲义组学而思教育08年春季五年级系统复习班第三讲教师版Pag