09-10-2工程矩阵理论期终考试试卷

一.（10％）求22C的子空间12,VV的交空间12VV及和空间12VV的基和维数，其中，12|,,|,xyxyVxyCVxyCxyyx．二.（10%）欧氏空间3[]Rx中的内积定义为：对3(),()[]xxRx，11(),()()()xxxxdx。令1，x，2x，(,)WL。求在W中的正投影，即求0W，使得0minW．三.（20%）在22矩阵空间22C上定义线性变换f如下：对任意矩阵22XC，2()34aafXaa，其中，a为X的迹()trX。1.求f在22C的基11122122,,,EEEE下的矩阵M；2.分别求f的值域()Rf及核子空间()Kf的基及维数；3.求f的特征值及相应的特征子空间的基；4.问：是否存在22C的基，使得f在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？四.（10%）根据参数,ab不同的值，讨论矩阵1702001aAb的Jordan标准形，并求矩阵100()AI的秩。五.（14%）假设矩阵101002101A．1.求A的广义逆矩阵A；2.求一个次数不超过2的多项式()f，使得()AtfAAe．六.（10%）假设f是n维酉空间V上的线性变换，若对任意,V，有((),)(,())ff。1.证明：在V的标准正交基下，f的矩阵为Hermite矩阵；2.证明：存在V的一组标准正交基，使得f的矩阵为对角阵。七.（8%）假设sn矩阵A的秩为r，证明22FAArA。八.（8%）假设A是snAC的广义逆矩阵，证明：()()nCKARA，其中，(),()KARA分别表示矩阵A的核空间和A的值域．九.（12%）假设,AB都n阶Hermite矩阵．1.如果A是正定的，证明：存在可逆矩阵C，使得,HHCACCBC都是对角阵；2.如果,AB都是半正定的，并且A的秩()1rAn，证明：存在可逆矩阵C，使得,HHCACCBC都是对角阵。