09-10概率统计试题答案

北京工业大学2009—2010年度第一学期概率论与数理统计考试试卷（工类，A卷）学号姓名得分题号一二(1)二(2)二(3)二(4)二(5)得分一.填空题(每空两分,共30分)1.已知P(A）=0.5，P(A∪B）=0.8，且A与B相互独立，则P(A-B）=0.2,P(AB）=0.8。2.设随机变量X服从参数是λ的泊松分布，且P(X=3)=2P(X=4），则λ=2,P(X＞1）=1-3e-2。3.设连续型随机变量X的概率密度函数为：其它,010,4)(3xxxf，且P（X＞a）=P（X＜a），则a=2-1/4。4.若随机变量X和Y相互独立，且有相同的概率分布则随机变量Z=max{X,Y}的概率分布V=min{X，Y}的概率分布U=XY的概率分布5.设随机变量X～B（n，p），已知E（X）=3，Var（X）=2.4，则n=15，p=0.2。6.设X1，X2，…，Xn为独立同分布的随机变量，且X1～N（0，1），则niiX12～2n。E21niiX=n。Var21niiX=2n。7.设X1，X2，X3是正态总体2(,)N的随机样本，其中μ已知，2未知，在)(1),,,max(,2),(3121222123211321XXXXXXXXXXX01p0.50.5Z01p0.250.75V01p0.750.25U01p0.750.25中，是统计量的有),,,max(,2),(313211321XXXXXXX8.已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布N（μ，1），从中随机抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm，则μ的置信系数为0.95的置信区间为2ZnX。二、计算题（每题14分）注意：每题要写出计算过程，无过程的不得分！1.钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是40%、35%和25%。而掉在上述三个地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1。试求：(1).钥匙被找到的概率。(2).已知钥匙被找到了，在此条件下，求钥匙是掉在宿舍的概率。解：设事件A1为“钥匙掉在宿舍里”，A2为“钥匙掉在教室里”，A3为“钥匙掉在路上”。事件B为“找到钥匙”。则P（A1）=0.4，P（A2）=0.35，P（A3）=0.25，(1)P（B|A1）=0.8，P（B|A2）=0.3，P（B|A3）=0.1，（1）P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=0.4×0.8+0.35×0.3+0.25×0.1=0.45(2)711.045.032.00.450.80.4)()|()()|()()|()()|()()()|(3322111111APABPAPABPAPABPAPABPBPBAPBAP2.设随机变量X的概率密度函数为：2,11()0,Axxfx其它(1).确定常数A。(2).求Y=3-X的概率密度函数f（y）。(3).求E（Y），Var（Y）。解：（1）由概率密度函数的性质：1)(dxxf知：112231AdxAx（2）因为Y的可能取值区间为（2，4），且y=g（x）=3-x在区间（-1，1）上为严格递减的函数，其反函数为x=h（y）=3-y，且h‘（y）=-1，所以Y=3-X的密度函数为：其他其他,042,)3(23,042|,1|)3()(2yyyypypXY（3）1122423)3(23))(()(,3)3(23)(dxxxxfEyEydyyyE或6.9)3(23))((6.9)3(23)(1122422222dxxxxfEdyyyyE或6.096.9))(()()(22yEyEyVar3.设二维连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为：32,01,01(,)0,yxyxyfxy其它(1).求X，Y的边缘概率密度函数)(),(yfxfYX，并判断X和Y是否相互独立。(2).求E(X+YE(Y))，Var(2X+3Y）。(3).求Z=X+Y的概率密度函数。解：（1）X，Y的边缘概率：10,010,23)23(),()(其他xxdyxyydyyxfxfX10,010,2)23(),()(其他yydxxyydxyxfyfY因为)()(),(yfxfyxfYX，所以X，Y相互独立。（2）因为X，Y相互独立，3629)(9)(4)32(1812)(41)23()(3631)32(125))(()())((322)(12523)23()(1022102222101010102YVarXVarYXVarydyyYEdxxxXEYEXEYYEXEydyyyEdxxxdxdxxxxE（3）因为X，Y相互独立，则：其他其他,0,21,34233110,2331,021,)(2)23(10,)(2)23()()()(2323110zzzzzzzzdxxzxzdxxzxdxxzfxfzfzzYXz4．设简单随机样本X1，X2，…，Xn来自总体X：1,,0(,,)0,xexfx其它其中μ，θ为未知参数。(1).求参数μ,θ的矩估计；(2).求参数μ,θ的极大似然估计。解：（1）先计算总体均值与方差：22020020222002211211)(1)(111)(dtedtetdtetdtetdxexXEdtedtetdxexXEttttxttx2222))(()()(XEXEXVar由此可以推出：,)()(,)(XVarXEXVar从而得到参数,的矩估计为：SXXXnSniiˆ,)(11ˆ12（2）似然函数为：)1(1,)(1exp1),(xxLniin其对数似然函数为：niixnL1)(ln),(ln由上式可以看出，对数似然函数是的单调函数，要使其最大，的取值应该尽可能的大，由于限制)1(x,所以的极大似然估计为：)1(ˆx将对数似然函数关于求导并令其为0，得到关于的似然方程：)1(121)ˆ(ˆ0)(),(lnxxnx：xnLniinii解得5．从一批钢管中抽取10根，测得其内径（单位：mm）为：100.36，100.31，99.99，100.11，100.64，100.85，99.42，99.91，99.35，100.10。设这批钢管内径服从正态分布2(,)N，试在检验水平α=0.05下，分别检验下列假设是否成立.01:100;:100.HH(1).已知σ=0.5。(2).σ未知。附正态分布表:Z0.025=1.96,Z0.05=1.645。附t分布表：解：（1）当5.0时，应采用Z检验，此时检验的拒绝域为：}|{|2ZZ。取05.0查表得：Z0.025=1.96，由样本数据计算得如下结果：6578.05.0)100104.100(10,104.100zx检验统计量未落入拒绝域，接受原假设H0。（2）当未知时，采用t检验。检验的拒绝域为：)}1(|{|2ntt。检验统计量为：nsxt0，取05.0，查表得：9(0.025)2.2622t。由样本观测值的，2622.26906.0476.0)100104.100(10,476.0ts接受原假设H0。9(0.025)2.2622t9(0.05)1.8331t10(0.025)2.2281t10(0.05)1.8125t