09近世代数A参考答案

浙江海洋学院2009-2010学年第一学期《近世代数》课程期末考试A卷（适用班级B08数学）考试时间：120分钟一二三四五六七八九十总分一、填空+选择+判断：（31015分）1.令A是平面全部向量的集合，A中向量的内积是一个代数运算（×）2.域和环中都要求至少有两个元素（×）3.任何一个群都至少含有一个循环子群（√）4.令12345678910()76538192104，将写作互不相交轮换的乘积（17910435826），其逆序数为：23.5.与置换（124）（35）（6）共轭的置换是（C）A.（12）（3456）B.（124）（356）C.（213）（46）（5）D.（12）（43）（56）6.若一个五元多项式的对称变换群是5S，举出该多项式的一个例子：略.7.若12,HH都是G的子群，则12HH也是G的子群。（×）8.nS的阶为n!。9.令1H是由S生成的1G的子群，2H是由S生成的2G的子群，且12GG，则必有12HH.（×）10.取()nGGLR，R是实数域，M是R上全体n阶方阵，做映射：(,)TGMMCAAC则该映射为群作用（√）学院专业班级姓名学号二、计算题（1,2,3每题7分,4题9分）1.令12345678910()76538192104，12345678910()35792614108求1，1.解：2.给定4A的一个子群4V={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}，作4A关于4V的左陪集分解，并说明分解过程。见教材3.令2123451234(,,,,)fxxxxxxxxx，写出其所有对称性变换。解：在该多项式中，1，3，4的位置是对称的，所以其所有对称性变换包括:(1),(13),(14),(34),(134),(143)4.令M为R上全体33矩阵构成的集合，3()GGLR，取12,PPG，对M做变换：12,AMAPAP.则该群变换的轨道不变量是什么？在此群作用下，下列矩阵123000213010000639011000000012012100120345010210102111ABCDEF生成的轨道数是多少，每条轨道上的轨道不变量是多少，每条轨道上分别包含哪些元素？解：该群变换相当于对G中的矩阵做行和列的初等变换，轨道不变量是矩阵的秩；经简单计算可知：r(A)=r(D)=r(E)=r(F)=3这四个矩阵在轨道不变量为3的轨道上；r(B)=0,B矩阵在轨道不变量为0的轨道上；r(C)=1,C矩阵在轨道不变量为1的轨道上。三、证明题（4*10分）1．SupposeGisagroup,SisanonemptysubsetofG.Let},,{)(SssaasGaSCG},{)(1SaSaGaSNGwhere}{11SsasaaSa.Chooseoneof()GCSand()GNSproveit’sthesubgroupofG.2．设G是非交换群，||2Gp，且p是素数，则G必有p阶子群。证明：在G中取异于单位元e的元素a，则a生成的G的子群为循环群a.再去G中除a之外的元素b，得到由b生成的G的子群b，亦为循环群。重复这样的步骤，因为G是有限群，故上述步骤必有停止一刻。上述得到循环群为G的子群，故其阶只可能为1，2，p，2p；阶为1只有{e}，其他不可能；若得到的某个循环子群阶为2p，则该子群即为群G，即G也是循环群，矛盾。故2p不可能取到；如果阶都为2，则由书中前面习题亦可推出G为循环群，矛盾。所以在上述群当中必有p阶子群存在。得证。3.证明：实数域R上的全体多项式集合01(),nnxaaxaxR0,naaR，在多项式的加法和乘法下成环。依照环定义简单验证。4．Letbethesetofrationalnumber(有理数集).Prove(3){3|,}ababisafield.依照域定义简单验证