1.2.1第2课时等差数列的性质教案(北师大版必修五)

第2课时等差数列的性质●三维目标1．知识与技能理解和掌握等差数列的性质，能选择方便快捷的解题方法，掌握等差中项的概念及其应用．2．过程与方法培养学生观察、归纳能力，在学习过程中体会类比思想、数形结合思想．3．情感、态度与价值观通过师生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，并引导学生从不同角度看问题，解决问题．●重点难点重点：等差数列的性质、等差中项．难点：等差数列性质的应用及实际应用．●教学建议本学案针对本节课的重点、难点设计了例1、例2、例3.例1主要是等差数列性质的应用，通过例1进一步了解等差数列的性质，加深性质的应用．例2是等差中项问题，通过例2让学生会求等差中项及利用等差中项解决问题．例3是等差数列的实际应用，通过例3让学生认识到数列在实际生活中的应用，提高学生运用所学知识分析、解决实际问题的能力．●教学流程创设情景，提出3个问题⇒通过引导回答所提出问题，理解等差数列的图像、增减性及等差中项⇒通过例1及变式训练，使学生进一步掌握等差数列的性质⇒通过例2及变式训练，使学生求等差中项及利用等差中项解决问题⇒通过例3及变式训练，让学生认识本数列在实际生活中的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(对应学生用书第10页)课标解读1.会画等差数列的图像，掌握其性质(重点)．2．掌握等差中项的概念，会求两数的等差中项(重点)．3．能解决与等差数列有关的简单的应用题(难点).等差数列的图像及增减性【问题导思】1．(1)首项为－1，公差为1的等差数列－1，0，1，2，3，4，5…的图像如图(1)所示．(2)首项为3，公差为－1的等差数列3，2，1，0，－1，－2，－3…的图像如图(2)所示．(3)首项为2，公差为0的等差数列(常数列)2，2，2，2，…的图像如图(3)所示．(1)(2)(3)图1－2－1观察上述等差数列的图像，它们有什么共同特征？【提示】它们的图像都是呈直线状的一群孤立的点.2.观察上述等差数列的图像，它们的增减性与公差d有何关系？【提示】当d0时图像上升，数列递增；当d0时图像下降，数列递减；当d＝0时图像不变化，常数列．1．等差数列的图像由an＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．2．等差数列的增减性对于an＝dn＋(a1－d)，1．当d＞0时，{an}为递增数列；2．当d＜0时，{an}为递减数列；3．当d＝0时，{an}为常数列．等差中项【问题导思】等差数列中任意相邻三项a，b，c，试问a，b，c有何关系？【提示】∵b－a＝c－b，∴b＝a＋c2.如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，且A＝a＋b2．(对应学生用书第11页)等差数列的性质在公差为d的等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.【思路探究】(1)如何寻找a2＋a3＋a23＋a24与a13的关系？(2)如何用d来表示已知的条件？【自主解答】法一(1)化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.(2)化成a1和d的方程如下：（a1＋d）＋（a1＋2d）＋（a1＋3d）＋（a1＋4d）＝34，（a1＋d）·（a1＋4d）＝52，解得a1＝1d＝3，或a1＝16d＝－3，∴d＝3或－3.法二(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13，得4a13＝48，∴a13＝12.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17.解a2·a5＝52，a2＋a5＝17，得a2＝4，a5＝13，或a2＝13，a5＝4.∴d＝a5－a25－2＝13－43＝3或d＝a5－a25－2＝4－133＝－3.对于等差数列的基本运算问题，一般有两种方法，一是建立基本量a1和d的方程，通过解方程组求解；一是利用等差数列的基本性质求解．等差数列的常用性质有：性质1：通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．性质2：若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.性质3：若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列．在等差数列{an}中，若a1＋a2＝3，a3＋a4＝7，求a5＋a6.【解】∵a1＋a5＝2a3，a2＋a6＝2a4，∴(a1＋a5)＋(a2＋a6)＝2(a3＋a4)，即(a1＋a2)＋(a5＋a6)＝2(a3＋a4)，∴3＋(a5＋a6)＝2×7，∴a5＋a6＝11.等差中项问题在数列{an}中，a1＝0，当n≥2时，an＋1an＝nn－1.求证：数列{an}是等差数列．【思路探究】通过证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N＋)来证明.【自主解答】当n≥2时，由an＋1an＝nn－1，得(n－1)an＋1＝nan，∴nan＋2＝(n＋1)an＋1，两式相减得，nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，整理得，nan＋2＋nan＝2nan＋1，∴an＋2＋an＝2an＋1，又∵a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1，∴数列{an}是等差数列．1．利用等差中项判断等差数列是一种重要的方法．一般地，若证明三项成等差数列，则多采用等差中项．2．证明一个数列是等差数列的方法(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2)⇔数列{an}是等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔数列{an}是等差数列．已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．【证明】∵a、b、c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)，∴b＋c，c＋a，a＋b成等差数列．等差数列的实际应用某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【思路探究】由题设知第1年获利200万，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…每年获利构成怎样的数列？当an取何值时该公司发现亏损？【自主解答】设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n0，得n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．1．抽象出等差数列模型是解答本题的关键．2．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决．若这组数依次成直线上升或递减，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．一山高(山顶相对于山脚的垂直高度)1600m，已知此地每升高(垂直高度)100m，气温降低0.7°C.某时刻山脚下的气温为26°C，求此时山顶的气温．【解】从山脚依次每升高100m，对应的气温组成等差数列记为{an}，则a1＝26，d＝－0.7.∴n＝1600÷100＋1＝17.∵an＝26＋(n－1)·(－0.7)，∴a17＝26＋16×(－0.7)＝14.8(°C)，即此时山顶的气温为14.8°C.(对应学生用书第12页)等差中项的妙用(12分)在－2和14之间顺次插入三个数a，b，c，使这5个数成等差数列，求插入的这三个数．【思路点拨】插入的三个数使5个数成等差数列，于是b是－2与14的等差中项，a是－2与b的等差中项，c是b与14的等差中项，利用等差中项的特点，可迅速作答．【规范解答】依题意，b是－2与14的等差中项．∴b＝－2＋142＝6.6分又a是－2与b的等差中项，c是b与14的等差中项，∴a＝－2＋62＝2，c＝6＋142＝10.11分故插入的三个数为2，6，10.12分巧妙运用等差数列中项，能减少运算量，使问题简单化．1．等差数列增减性的判断方法：可利用公差d的符号来判断．2．应用等差数列的性质，可使有关等差数列问题的解答变得简捷．3．在利用等差数列的性质解题时，注意函数与方程思想，转化与化归思想及整体代入方法的应用．(对应学生用书第13页)1．已知等差数列{an}中，a6＋a10＝20，a4＝2，则a12的值是()A．26B．20C．18D．28【解析】由题意得a6＝a4＋2d，a10＝a4＋6d，所以2＋2d＋2＋6d＝20，得d＝2，故a12＝a4＋8d＝2＋8×2＝18.【答案】C2．lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项为()A．0B．lg3－23＋2C．lg(5－26)D．1【解析】lg（3－2）＋lg（3＋2）2＝lg[（3－2）（3＋2）]2＝lg12＝0，故选A.【答案】A3．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________．【解析】∵a3＋a8＝a5＋a6＝22.又a6＝7，∴a5＝15.【答案】154．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8和a6＋a7.【解】∵a2＋a11＝a3＋a10＝a5＋a8＝a6＋a7，∴a5＋a8＝a6＋a7＝a2＋a3＋a10＋a112＝362＝18.(对应学生用书第85页)一、选择题1．若等差数列{an}的公差为d，则{3an}是()A．公差为d的等差数列B．公差为3d的等差数列C．非等差数列D．无法确定【解析】设bn＝3an，则bn＋1－bn＝3an＋1－3an＝3(an＋1－an)＝3d.【答案】B2．(2013·德州高二检测)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35【解析】∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×4＝28，故选C.【答案】C3．(2013·哈尔滨高二检测)等差数列{an}首项a1＝1，公差d＝3，当an＝298时，序号n等于()A．96B．99C．100D．101【解析】由已知a1＝1，d＝3得an＝1＋3(n－1)＝3n－2.又an＝298.∴298＝3n－2，解得n＝100，故选C.【答案】C4．a＝13＋2，b＝13－2，则a、b的等差中项为()A.3B.2C.33D.22【解析】a＋b2＝13＋2＋13－22＝（3－2）＋（3＋2）2＝3.【答案】A5．数列{an}满足3＋an＝an＋1(n∈N＋)且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是()A．－2B．－12C．2D.12【解析】由已知可得{an}是等差数列，公差d＝3，∴a5＋a7＋a9＝a2＋a4＋a6＋9d＝36，∴log6(a5＋a7＋a9)＝2.【答案】C二、填空题6．在a和b(a≠b)两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为________．【解析】b＝a＋(n＋2－1)d，则d＝b－an＋1.【答案】b－an＋17．在等差数列{an}中，若a3－a4＋a5－a6＋a7＝100，则a5＝________．【解析】a3＋a7＝a4＋a6，则a3－a4＋a5－a6＋a7＝(a3＋a7)－(a4＋a6)＋a5＝a5＝100.【答案】1008．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．【解析】设所构成的等差数列为{an}，则a1＋a2＋a3＋a4＝