1.2.1任意角的三角函数(一)学案(人教A版必修4)

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com1.2.1任意角的三角函数(一)自主探究1．任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sinα＝y；②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cosα＝x；③yx叫做α的正切，记作yx，即tanα＝yx(x≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值.角α0π6π4π3π223π34π56ππ32πsinα012223213222120－1cosα13222120－12－22－32－10tanα03313无－3－1－330无解以α＝32π为例，其余略．设P(x，y)为α＝32π上一点，易知点P(x，y)在y轴负半轴上．∴x＝0，y0，r＝x2＋y2＝－y0.∴sin32π＝yr＝－1；cos32π＝xr＝0；tan32π＝yx，无意义．名师点拨1．对三角函数定义的理解金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应，三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P的横坐标x等于0，则tanα无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．(4)符号sinα、cosα、tanα是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sinα”当成“sin”与“α”的乘积．2．诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．典例剖析一、利用定义求任意角的三角函数值例1已知角α的终边上一点P(－15a,8a)(a∈R且a≠0)，求α的各三角函数值．解∵x＝－15a，y＝8a.∴r＝－15a2＋8a2＝17|a|(a≠0)．(1)若a0，则r＝17a，于是sinα＝817，cosα＝－1517，tanα＝－815.(2)若a0，则r＝－17a，于是sinα＝－817，cosα＝1517，tanα＝－815.点拨已知角终边一点求三角函数值，关键在确定该点的坐标，根据三角函数定义求解，同时应注意一些字母符号．二、判断三角函数值的符号例2若θ为第一象限角，则能确定为正值的是()A．sinθ2B．cosθ2C．tanθ2D．cos2θ答案C解析∵θ为第一象限角，∴2kπθ2kπ＋π2，k∈Z.∴kπθ2kπ＋π4，k∈Z.当k＝2n(n∈Z)时，2nπθ22nπ＋π4(n∈Z)．∴θ2为第一象限角，∴sinθ20，cosθ20，tanθ20.当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋πθ22nπ＋54π(n∈Z)．∴θ2为第三象限角，∴sinθ20，cosθ20，tanθ20，从而tanθ20，而4kπ2θ4kπ＋π，k∈Z，cos2θ有可能取负值．点拨根据三角函数值的符号判断角所在的象限时，可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com三、诱导公式一的应用例3求下列各式的值．(1)cos253π＋tan－154π；(2)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°.解(1)原式＝cos253π＋tan－154π＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π3＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.点拨利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．变式训练1．已知角α终边上一点P(－3，y)，且sinα＝34y，求cosα和tanα的值．解sinα＝y3＋y2＝34y.当y＝0时，sinα＝0，cosα＝－1，tanα＝0.当y≠0时，由y3＋y2＝3y4，解得：y＝±213.当y＝213时，P－3，213，r＝433.∴cosα＝－34，tanα＝－73.当y＝－213时，cosα＝－34，tanα＝73.2．若sinα0且tanα0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案C解析∵sinα0，∴α是第三、四象限角．又tanα0，∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．3．求下列各式的值．(1)cos－233π＋tan174π；(2)sin630°＋tan1125°＋tan765°＋cos540°.解(1)原式＝cosπ3＋－4×2π＋tanπ4＋2×2π＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin270°＋tan45°＋tan45°＋cos180°＝－1＋1＋1－1＝0.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com一、选择题1．sin210°等于()A.32B．－32C.12D．－12答案D2．若cosθ0且sin2θ0，则角θ的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D3．点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为()A.3B．－3C.33D．－33答案B4．角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－35，则b的值为()A．3B．－3C．±3D．5答案A解析r＝b2＋16，cosα＝－br＝－bb2＋16＝－35.∴b＝3.二、填空题5．代数式：sin2cos3tan4的符号是________．答案负号解析∵π22π，∴sin20，∵π23π，∴cos30，∵π432π，∴tan40.∴sin2cos3tan40.6．已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα0，cosα≤0，则a的取值范围为________．答案－2a≤3解析∵sinα0，cosα≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上，∴3a－9≤0，a＋20，∴－2a≤3.7．设角α的终边经过点(－6t，－8t)(t≠0)，则sinα－cosα的值是________．答案±15解析当t0时，r＝10|t|＝10t.sinα＝－45，cosα＝－35，sinα－cosα＝－15.当t0时，r＝10|t|＝－10t.sinα＝45，cosα＝35，sinα－cosα＝15.8．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝________.答案2解析∵y＝3x，sinα0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m0，n0，金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.comn＝3m.∴|OP|＝m2＋n2＝10|m|＝－10m＝10.∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.三、解答题9．已知角θ的终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ，tanθ.解∵r＝x2＋9，cosθ＝xr，∴1010x＝xx2＋9.∵x≠0，∴x＝±1.∵y＝30，∴θ是第一或第二象限角，当θ为第一象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝3；当θ为第二象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝－3.10．已知α是第三象限角，试判定sin(cosα)·cos(sinα)的符号．解α是第三象限角，则有：cosα0且－1cosα0，sinα0且－1sinα0，进而有cosα是第四象限角，所以sin(cosα)0，sinα是第四象限角，所以cos(sinα)0，所以sin(cosα)·cos(sinα)0.