1.2排列组合专题

排到组合方法总结姜老师专版11.2排列组合类型题总结一、邮信问题：把4封信投入3个邮箱有多少种方法。解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。（即指数形式，有条件的为指数在上边无条件的在下边）练习：若A=｛a,b,c｝,B={1、2、3、4、5}，则从集合A到集合B一共可以有多少个不同的映射；从集合B到集合A一共可以有多少个不同的映射？二．排序问题：1.优限(先)法：特殊元素优先或特殊位置优先。。例：4名男生和4名女生排成一排，女生不排首末两端，则不同的排法数为：2.捆绑法：用于在一起相邻，整体性的问题。例：6人站成一排，其中甲，乙、丙3人站在一起的所有排列的种数为：3.插空法：用于元素不相邻的问题，先排无条件的，再插空。（有有序排列和无序排列）（1）不同元素与不同元素间的间的不相邻。例：7人站成一排，其中甲，乙、丙3人不在一起的所有排列的种数为：（2）不同元素与相同元素间的不相邻。例：3个人坐在8个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法有多少种？（3）相同元素与相同元素间的不相邻。例：一排路灯有10盏，为了节约用电，灭掉3盏，要求不能灭两边的且灭灯不相连，有多少种方法？排到组合方法总结姜老师专版24．留位法：用于个别顺序固定的，先在所有位置上排无条件的，有条件还进入即可。例：五名学生站成一排,其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为_________.变式：若把英语单词“look”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有__________种。练习：四名男生和三名女生排成一排，（1）甲乙二人必须站在两端的排法有多少种？（2）甲乙二人不能站在两端的排法有多少种？（3）甲不站在排头，乙不站在排尾的排法有多少种？（4）女生不相邻的排法有多少种？（5）甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种？（6）甲排在乙的右边有多少种不同的排法？三、排数字：例：用0、1、2、3、4、5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数。（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数。（3）能组成多少个无重复数字的四位数字，且个位小于十位数字。（4）能组成多少个无重复且大于345012的数字。（排大小：从高位到低位逐位排）、练习：用数字1,2,3,4,5可以组成_________个没有重复数字且比13000大的正整数.排到组合方法总结姜老师专版3四、隔（档）板法：处理无序分组问题．要点：元素相同。有两类，空与不空把n个小球放入不同编号的m个盒子中,（1）每个盒子至少放一个有多少种放法。（2）盒子容量不限有多少种放法。解析：（1）每个盒子至少放一个直接用档板法：把n个小球排成一排，中间产生n－1个空，插入m-1个档板，(分成m份)放入盒中即可。故11mnC种例1：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，每盒中至少有1个，有多少种放法。（2）盒子容量不限，即盒子可以有空的，直接插空不会有空的，若讨论很麻烦，故此题的处理方法是：将n个球和m－1个档板（分成m份用m－1个档板）全放在一起。共需要n+m－1个位置，在这些位置上任意放n个球（或m－1个档板）有nmnC1种（或11mmnC）。这样可以保证隔板在一起，即可空盒。例2：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，有多少种放法。（可空）变式1：把10个苹果分给3个人，每人至少两个苹果有多少种分法。变式2：把10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子放球的个数不小于基编号，有多少种放法。变式3：A=｛a1，a2，……a60｝，B=｛b1，b2……b25｝，每个象都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤……≤f(a60),这样的映射有多少个？排到组合方法总结姜老师专版4五．能人问题：方法：此类问题以哪类人分类都可，但主要是分类的标准一定要明确，可以按其中一类人的参与情况分类，也可以以能人参加其中一项为标准分类；也可按能人的参与情况分类，能人不参加；能人一人参加；能人两人参加，一般哪个情况少以哪个分类。例.车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名老师傅即能当车工,又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工、4名车工修理一台机床,问有多少种选派方法?练习：有11名划船运动员,其中有5人会左浆,4人会右浆,还有甲、乙两人即会左浆,又会右浆,现要派出4名左浆手,4名右浆手,组成划船队,有多少种选派方案?六、分组问题、分配问题：它们的主体区别：分组问题没有序，分配问题有序1、平均分组/配问题：对于km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分配种数是mmkmkmCC)1(…mmC（有序）平均分组的种数是kkmmmmkmkmACCC)1(（无序）2、混合分配问题：是指在分配中既含有平均分配的情况，又含有不平均分配的成分，注意平均分成k组的部分要除以kkA，只后再排列。如：10个人分成三组，人数分别为2、4、4，参加3种不同劳动，分法种数为33224448210AACCC排到组合方法总结姜老师专版5例：有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法。（1）分成1本，2本，3本三组。（2）分给甲，乙，丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本。（3）分成每组都是2本的三个组。（4）分给甲，乙，丙三人，每人2本。练习1：3名医生和6名护士，被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有_______种。练习2：4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有多少种？排到组合方法总结姜老师专版6七、环状排列问题：从n个不同元素中取出m个元素的环状排列的种数有mAmn种；特殊的n个不同元素的环状全排列的种数为nAnn＝（n-1）!(由于环状有重复一样的)例：由a、b、c、d四个元素组成的环状排列有多少个？八．涂色问题：1、区域涂色问题：根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。例1.用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？练习：用4种不同的颜色去涂矩形的四个区域（如图），要求相邻两个区域颜色不同，每个区域只涂一种颜色，则一共有多少种涂法。2、点的涂色问题：例、将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？1432②①③④排到组合方法总结姜老师专版71.2排列组合类型题总结（教师版）一、邮信问题：把4封信投入3个邮箱有多少种方法。解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。（即指数形式，有条件的为指数在上边无条件的在下边）如本题中的信有条件，即一封信只能投入一个信箱，所以，3种，3种，3种，3种。共43种。练习：若A=｛a,b,c｝,B={1、2、3、4、5}，则从集合A到集合B一共可以有多少个不同的映射；从集合B到集合A一共可以有多少个不同的映射？125、243二．排序问题：1.优限(先)法：特殊元素优先或特殊位置优先。。例：4名男生和4名女生排成一排，女生不排首末两端，则不同的排法数为：先排男生6624AA或先排女生4446AA2.捆绑法：用于在一起相邻，整体性的问题。例：6人站成一排，其中甲，乙、丙3人站在一起的所有排列的种数为：4433AA3.插空法：用于元素不相邻的问题，先排无条件的，再插空。（1）不同元素与不同元素间的间的不相邻。例：7人站成一排，其中甲，乙、丙3人不在一起的所有排列的种数为：（有序）先排其余4人，产生5个空，再排3人：3544AA（2）不同元素与相同元素间的不相邻。例：3个人坐在8个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法有多少种？解析：可以看作先将5个座位放好，三个人带着各自的座位坐在中间的4个空隙中的三个位置上有34A＝24种（座位无序不排）（半有序）（3）相同元素与相同元素间的不相邻。例:一排路灯有10盏，为了节约用电，灭掉3盏，要求不能灭两边的且灭灯不相连，有多少种方法？（无序）36C排到组合方法总结姜老师专版84．留位法：用于个别顺序固定的，先在所有位置上排无条件的，有条件还进入即可。例：五名学生站成一排,其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为5521A或35A解:方法1.留位法：在5个位置上先排3人，其余两人站入即可。35A方法2：因两人可交换顺序,则有2种排法,顺序固定时,则排法少了一半.故选5521A。变式：若把英语单词“look”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有___11___种。解析：同本例即oo无序不排，在四个位置上排l,k即可24A，或去序2244AA都－1＝11练习：四名男生和三名女生排成一排，（1）甲乙二人必须站在两端的排法有多少种？5522AA=240（2）甲乙二人不能站在两端的排法有多少种？5525AA=2400（3）甲不站在排头，乙不站在排尾的排法有多少种？方法1：直接。①甲排尾，66A②甲不排尾，15A5515AA共有：66A+15A5515AA=3720方法2：间接。77A-266A+55A=3720（4）女生不相邻的排法有多少种？（插空法）男生先排44A共产生5个空位，插入3个女生35A。共有：44A35A=1440种（5）甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种？先从5人（除甲乙）中，选二人排到甲乙中间有25A种排法，再排甲乙22A，此4人视为一体与另3人排列有44A种。所以共有25A22A44A=960种（6）甲排在乙的右边有多少种不同的排法？（留位法）57A或7721A=2520种三、排数字：例：用0、1、2、3、4、5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数。末位13A，首位14A，中间24A。故共在：13A14A24A排到组合方法总结姜老师专版9（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数。①0在末位35A。②0不在末位：先排末位12A，再首位14A，中间24A。即12A14A24A共有：35A+12A14A24A＝156（3）能组成多少个无重复数字的四位数字，且个位小于十位数字。①没0：先排后两位且不排列25C，再排前两位23A故2325AC=60②有0：在末位时，35A=120。不在末位时，0只能在第二位，1325AC=30共有2325AC+35A+1325AC＝150（4）能组成多少个无重复且大于345012的数字。（排大小：从高位到低位逐位排）269练习：用数字1,2,3,4,5可以组成_________个没有重复数字且比13000大的正整数.114解:分两类:第一类,万位比1大,有4种不同的选法,其余任意排列,有96444A个,第二类，万位为1,则千位有3,4,5三种选法,其余任意排列,有18333A个;共有18+96=114个.四、隔（档）板法：处理无序分组问题．要点：元素相同。有两类，空与不空把n个小球放入不同编号的m个盒子中,（1）每个盒子至少放一个有多少种放法。（2）盒子容量不限有多少种放法。解析：（1）每个盒子至少放一个直接用档板法：把n个小球排成一排，中间产生n－1个空，插入m-1个档板，(分成m份)放入盒中即可。故11mnC种例1：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，每盒中至少有1个，有多少种放法。解：把10个小球排成一排，中间产生9个空，插入两个档板，(分成3份)即可，故有29C＝36（2）盒子容量不限，即盒子可以有空的，直接插空不会有空的，若讨论很麻烦，故此题的处理方法是：将n个球和m－1个档板（分成m份用m－1个档板）全放在一起。排到组合方法总结姜老师专版10共需要n+m－1个位置，在这些位置上任意放n个球（或m－1个档板）有nmnC1种（或11mmnC）。这样可以保证隔板在一起，即可空盒。例2：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，有多少种放法。（可空）解：10个球和2个板共用12个位置，看板212C变式1：把10个苹