1-3-2高一上必修二成才之路答案

第1章1.3.2一、选择题1．两个球的体积之比为8∶27，则它的表面积之比为()A．2∶3B．4∶9C．1∶2D．1∶3[答案]B[解析]由体积比知半径之比为2∶3，∴面积之比为4∶9，故选B.2．两个球的体积之和是12π，大圆周长之和是6π，则两球半径之差是()A．1B．2C．3D.32[答案]A[解析]设两球半径为r2，r1，r2r1，则4π3(r32＋r31)＝12π，2π(r2＋r1)＝6π解得r1＝1，r2＝2，∴r2－r1＝1，故选A.3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π[答案]C[解析]设正四棱柱底面边长为a，则S底＝a2，∴V＝S底·h＝4a2＝16，∴a＝2.又正四棱柱内接于球，设球半径为R，则(2R)2＝22＋22＋42＝24，∴R＝6，∴球的表面积为4πR2＝24π.4．(07·宁夏、海南)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.40003cm3B.80003cm3C．2000cm3D．4000cm3[答案]B[解析]由俯视图知此几何体的底面为一个边长为20的正方形，结合正视图、侧视图知，此几何体为四棱锥，高为20，所以其体积为13×20×20×20＝80003cm3，故选B.5．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为()A．2B.2C.32D.1234[答案]C[解析]设大球半径为r，则43πr3＝2×4π3，∴r＝32，故选C.6．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为()A．2∶1B．2∶3C．2∶πD．2∶5[答案]A[解析]13πr2h＝43πr3×12∴h＝2r，故选A.7．湖面上漂着一个球，湖面结冰后将球取出，冰面上留下了一个面直径为24，深为8的空穴，则球的半径为()A．8B．12C．13D．82[答案]C[解析]122＋(R－8)2＝R2，∴R＝13.故选C.8．(09～10学年四川广元高一期末)已知正方体的外接球的体积为323π，则该正方体的表面积为()A.433B.163C.643D．32[答案]D[解析]设球半径为R，内接正方体棱长为a，则4π3R3＝32π3，∴R＝2，又3a2＝(2R)2，∴a2＝163，∴V正方体＝6a2＝32.9．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是()A.92πB.72πC.52πD.32π[答案]D[解析]本题是旋转问题．．．．，考查锥体的体积公式和空间想像能力．如图所示，该旋转体的体积为圆锥CD与圆锥BD体积之差．在△ABD中，AB＝2，∠ABD＝60°，∴BD＝1，AD＝3，∴V＝V1－V2＝13×π×(3)2×(1＋1.5)－13×π×(3)2×1＝3π2.10．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10πC．11πD．12π[答案]D[解析]本题是三视图还原为几何体的正投影问题．．．．．，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.二、填空题11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为________．[答案]3[解析]43πR3＝4πR2∴R＝3.12．(07·天津)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的表面积为________．[答案]14π[解析]球的直径d＝12＋22＋32＝14，r＝d2，S＝4πr2＝14π.13．(08·海南宁夏文)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，则这个球的体积为______．[答案]4π3[解析]如图所示的正六棱柱内接于球，则球心O在体对角线AD′上，∵正六边形周长为3，∴其边长为12，∴AD＝1，又DD′＝3，∴AD′＝AD2＋DD′2＝2，∴球的体积V＝4π3·AD′23＝4π3.14．(山东枣庄高一期末)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的体积为________，其外接球的表面积为________．[答案]236π[解析]由俯视图知，四棱锥底面为边长为1的正方形，由正视图与侧视图知，该四棱锥的高为2，故其体积V＝13×12×2＝23，其外接球的直径为2R＝12＋12＋22＝6，∴表面积为4πR2＝4π×622＝6π.三、解答题*15.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2.求球的表面积．[解析]如图为球的过球心的截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球的半径为R.∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7cm，同理πO1A2＝400π，∴O1A＝20cm.设OO1＝xcm，则OO2＝(x＋9)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15，∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25cm.∴S球＝4πR2＝2500πcm.∴球的表面积为2500πcm2.16．一个长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24.求长方体外接球的表面积．[解析]设长方体长、高、宽分别为x、y、z，则由已知条件知xy＋yz＋zx＝1124(x＋y＋z)＝24，即2xy＋2yz＋2xz＝11①x＋y＋z＝6②将②式两边平方与①式两边分别相减得，x2＋y2＋z2＝25，∴长方体体对角线长为x2＋y2＋z2＝5，∴外接球半径r＝52，面积为4πr2＝25π.17．体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小．[解析]设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.由题意知，43πR3＝a3＝πr2·2r，∴R＝334πa，r＝312πa，∴S2＝4π334πa2＝4π·3916π2a2＝336πa2，S3＝6π312πa2＝6π·314π2a2＝354πa2，∴S2S3.又6a2332πa2＝354πa2，即S1S3.∴S1、S2、S3的大小关系是S2S3S1.18．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为hcm，半径为rcm.试管的容量为108πcm3，半球部分容量为全试管容量的16.(1)求r和h；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4cm处，求水的体积．[解析](1)∵半球部分容量为全试管容量的16，∴半球部分与圆柱体部分容量比为15，即15＝43πr3×12πr2×h∴h＝103r，43πr3×12＝108π×16∴r＝3(cm)，h＝10(cm)．(2)V＝43πr3×12＋πr2×(h－4)＝43π×33×12＋π×32×6＝72π(cm3)．