12《学习指南试题精解》第十二章机械振动

145第12章机械振动12.1要求1了解简谐振动的能量；2理解旋转矢量法、同方向和同频率简谐振动的合成的规律；3掌握简谐振动的各物理量（,,A）及各量间的关系、简谐振动的基本特征、建立简谐振动的微分方程、根据初始条件写出一维简谐振动方程、同方向和同频率简谐振动的合成。12.2内容摘要1简谐振动方程)cos(tAx，特征量：振幅A：决定振动的范围和能量；角频率ω：决定振动重复的快慢，频率21,2T周期；初相：决定起始的时刻的位置和速度。2振动的位相（t）简谐振动在t时刻的位相；3简谐振动微分方程0222xdtxd，弹性力：kxF，KmTmK2,；4、简谐振动的能量2222121)(21kAkxdtdxmEEEkp5、受迫振动：是在驱动力作用下的振动。稳态的受迫振动的频率等于驱动力的频率。当驱动力的频率等于系统的频率时，发生共振现象，振幅最大。6、同方向、同频率简谐振动的合成)cos(111tAx，)cos(222tAx)cos(21tAxxx其中，A=)cos(212212221AAAA，22112211coscossinsinAAAAarcig位相差12起了相当重要的作用（2112,10cos,AAA为最大）！（1）两个谐振的频率相同时，合运动的振幅决定于它们的相位差：同向时（3,2,1,0,2kk），合振动最大，为两者振幅之和；反向时，合振动最小[3,2,1,0,)12(kk]，为两者振幅之差；（2）两个谐振的频率不相同时，合运动会产生拍现象，拍的频率为、两个谐振的频之差。14612.3解题思路1根据给定条件，写简谐振动表达式时，要找出三个特征量A、ω和ф。ф要特别注意初始条件，利用初始条件画出向量图是求ф的一个方便的方法。由质点的初始位置和速度（特别是注意正和负）就可以画出振幅矢量的位置，确定ф的值；2从分析力着手判定简谐振动时，基本步骤就是：求质点在给定条件下受的合力，只要得到合力对某一平衡位置的位移正比而反向，就可以判定质点的运动是简谐振动，并可立即有力和位移的比例常数和质点的质量，写出简谐振动的角频率或周期；3应用同一直线上两个简谐振动的合成规律时，要特别注意它们的相位差和合成的振幅的关系；同向时，合振幅最大，反向时，合振幅最小。12.4思考题选答1弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动，同一弹簧振子在简谐驱动力持续作用下的稳态受迫振动也是简谐振动，这两种简谐运动有什么区别？答：弹簧振子的无阻尼自由振动是在“无阻尼”，包括没有空气等外界施加的阻力和弹簧内部的塑性因素引起的阻力的情况下发生的，是一种理想情况。由于外界不能输入能量，所以弹簧振子的机械能守恒。这时振动的频率由弹簧振子自身的因素（K和M）决定。在简谐驱动力持续作用下的稳态简谐运动是在驱动力作用下产生的。这时实际上，弹簧振子受的阻力也起作用，只是在驱动力对弹簧振子做功而且输入弹簧振子的能量等于弹簧振子由于阻力消耗的能量时，振动才达到稳态，这样弹簧振子的能量才保持不变。此时，稳态受迫振动的频率决定于驱动力的频率，而与弹簧振子的固有频率无关。2任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，簧振子的振动周期将变大还是变小？答：从质量的意义上来说，质量表示物体的惯性，弹簧本身的质量计入时，系统的质量增大，更不易改变运动状态。对不断地周期性改变运动状态的弹簧振子的简谐运动来说，其进程一定要变慢。这就是说，考虑弹簧的质量时，弹簧振子的振动周期将变大。X（厘米）12.5习题解答+412.1一质点沿X轴作简谐运动，+2振动方程为)312cos(1042tx（SI），01234t（1/4秒）从t=0时刻起到质点位置在X=-2cm处，-2·P（-2cm）且向X轴正方向运动的最短时间间隔为-4（A）1/8秒；（B）1/4秒；图12.1（C）1/2秒；（D）1/3秒、（E）1/6秒。[D]147解：（1）已知：振幅A=4cm，位相（ωt+Ф），角频率ω=2π，初相Ф=π/3；（2）根据振动方程)3t2(4cosX，如图12.1所示周期2T=1秒；（3）分析质点运动情况：从t=0时刻起，2)3/0cos(10420x；向X轴负方向运动，直到X1=-4cm,即3/1t3),/t2(4cos411为止；质点改变运动方向，向X轴正方向运动到位置P点。最短时间间隔为：p1ttt(4)Xp=-2cm处的时刻t=tp？61,3232,21)32cos(pptttS，（5）结论s216131tttp1所以（C）为正确答案。12.2某一质点作简谐运动，振幅cmA4，周期sT2，其平衡位置做坐标原点。若0t时，第一次通过cmx2处，且向X轴负方向运动，则质点第二次通过cmx2处的时刻为：（A）1S；（B）32S；（C）34S；（D）2S。[]解：（！）由已知条件，求简谐运动方程,22sT，)2cos(104,2),cos(,0,02txtAxxt令(向X轴负方向运动,,0sin,0sinAv2)（2）由简谐运动方程，求质点第二次通过cmx2处的时刻为：32,3222),2cos(42tttS，P点的位相为：322与上题相同。所以（B）32S；为正确答案。12.3、一条简谐运动曲线如图12.2所示，X（m）则振动周期是：（A）2.62S；4（B）2.40S；2（C）2.20S；01t（s）（D）2.00S。解：设)sin(tAx，从图中可知2x时，t=0，即,6,sin42图12.240.26522,656,3),3sin(40Ttts148谐振方程为)365cos(4)6265cos()665sin(ttAtAx，所以（B）2.40S；为正确答案。12.4有两个相同的弹簧，其劲度系数均为K。（1）把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统的振动周期为：；（2）把它们并联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统的振动周期为：。解：系统的振动周期为：KMT22，已知M=m，即分别求串联、并联后，系统的劲度系数。类比电阻的串联K1、并联K2：KKKKKKKKKK2;2,2111211；代入振动周期定义式即可求得KmT22串，KmT22并。12.5某一物体做余弦振动，振幅为m2105.1，圆频率为16srad，初相为5.0，则振动方程为：。解：已知5.0,6,105.112sradmA)cos(tAx，所以mtx)5.06cos(105,12。12.6质量为2kg的质点，按方程))(6/5sin(2.0SItX，沿X轴振动。求：（1）t=0时，作用在质点的力的大小？（2）作用在质点的力的最大值和此时质点的位置。解：应用牛顿力学求解：∵),6/5sin(2.0tX)6/5cos(tdtdxv（！）)6/5sin(5tdtdva，F=ma=N5)6/sin()5(2；（2）mXtNtF2.0,1)6/5sin(,10)6/5sin(10||max。12.7一条简谐运动曲线如图所示，求振动方程？X（m）解：已知A=10，t=0，X0=-5=cos10，+100sin10),sin(),cos(0VtAVtAX所以ф=2π/3；由图三可知：质点由位移X0，02t（s）和V00的状态到X=0、V0的状态所需要的时-5间t=2s代入振动方程求角频率：-10图12.3125,23322),322cos(100，故))(32125cos(10SItX。12.8一只弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时其动能为振动的总能量的：（A）、7/16；（B）、9/16；149（C）、11/16；（D）、13/16；（E）15/16。[]解：1已知X=（1/4）A，即)cos(41tAA，)sin(tAdtdx，2动能)(sin21)(212222tmAdtdxmEK，1615)41(1)(sin22t，22211615mAEK；3弹性势能)(cos21212222tmAkXEP；4总能量22222221)(cos)([sin21mAttmAEEEPK，5故1615EEK，（E）为正确答案。12.9一个质点作简谐振动，其振动周期为T，则其振动动能变化的周期是：（A）T/4；（B）、（1/2）T；（C）、T；（D）、2T。[]解：由上题可知简谐振动方程2),cos(XTtAx，2)(2cos1)(sin)(sin21020222tEtEtmAEK；显然22KET，所以21/2/XETTK，故（B）（1/2）T；为正确答案。12.10一个质点作简谐振动，其振动方程),cos(tAX在求质点的振动动能时，得出下面5个表达式：①)(sin21222tAEK；②)(cos21222tAEK；③)sin(212tKAEK；④)cos(212tKAEK；⑤)(sin22222tATEK。其中m是质点的质量，K是弹簧的倔强系数，T是振动周期。下面结论中正确的是：（A）①和④是对的；（B）②和④是对的；（C）①和⑤是对的；（D）③和⑤是对的；（E）②和⑤是对的。[]解：2224,2TT，)(sin21)(212222tmAdtdxmEK，150故①式等于⑤式，所以（C）为正确答案。12.11一个物体在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的倍；当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原来长度长ΔL，此振动周期为。解：动能)(sin21)(212222tmAdtdxmEK，43)21(1)(sin22t总能量22222221)(cos)([sin21mAttmAEEEPK21)cos(),cos(2),cos(ttAAtAx,43)(sin2tEEK振动周期：gLTLmgKmgLKFKmT2,,,2。12.12一个竖直悬挂的弹簧振子系统处于平衡位置如图12.34所示，今将物体下拉，使弹簧伸长为2mg/k，然后由静止释放。要使振子的动能达到m²g²/k，至少需要经历的时间t=秒。K解：弹簧振子的振幅A=2mg/k，设其谐振方程为x=Acos（ωt+φ），mmk，0,Ax,0t，图12.4动能2mv21E，tsinAdtdxv。∵.4tmk,21tmksin,kgmtsinmA21E222222，∴km4t。12.13一个轻质弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm，将一个物体悬挂在弹簧的下端，在它的上面放一个小物体，总重量为4kg。静止后，把物体拉下10cm，然后释放。问：（1）此小物体是停在振动物体上面，还是离开？（2）如果使放在振动的物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？两者在何处开始分开？解：（1）用牛顿力学，研究小物体停在振动物体上面的运动：首先受力分析在竖直方向上：mg-N=ma，N=m（g-a）；当N=0时，小物体开始离开振动物体，若g-a0，即ga，小物体是停在振动物体上面。已知：A=10cm，K=6