12-13-1概率统计期中试卷(理工)答案

1天津工业大学（2012—2013学年第一学期）《概率论与数理统计》（理工类）期中试卷(2012/11)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息，若写在其它处视为作弊。本试卷共有8页，共八道大题，请核对后做答，若有疑问请与监考教师联系。满分281012121210106总分复核题号一二三四五六七八得分评阅人一．填空题（本题满分28分）1.设BA,是两个事件，5.0)(AP，4.0)(BP，30)(.BAP，则)(BAP=__0.8__，)(ABP=__0.8__.2.某系统连接方式如图,4个独立工作的元件kA可靠的概率为)4321(,,,kpk.则系统可靠的概率为.ppppppp4321321)(3.一袋中装有7只球，其中3只白球、4只红球，现从袋中依次取出3只球，取到的白球的数目为X，则X的分布律在有放回情形下为.,,,k,CkXPkkk3210)74()73()(33；在不放回情形下为.,,,k,C/CCkXPkk3210)(37343-----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线----------------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线---------------------------------------------3A4A2A1A24.设随机变量X的概率密度010)(其它,x,AxxfX，则常数A=__2__，13XY的概率密度)(yfY041)1(92其它,y,y．5．设随机变量X的分布律为X012kp0.30.50.2则X的分布函数为)(xFX22180103000xx.x,.x,1,．6．设随机变量)(λ~X（泊松分布），且20)(eXP，则常数λ=__2__，概率)2(XP25e．7．设随机变量)61(,U~X（均匀分布），则X的概率密度函数为06151)(其它,x,xfX，关于t的二次方程012Xtt有实根的概率为__0.8__．8．设随机变量X的概率密度函数为2(3)41(),2xfxex则23XY~,1)0(N（写出分布类型及参数）；而概率)2(YP=9772.0（已知9772.0)2(）．3二．（本题满分10分）设某厂有甲乙丙三条流水线生产同一种产品，产量分别占15%，80%，5%；次品率分别为0.02，0.01和0.03；三条流水线的产品混放在同一库房。记事件iA)321(,,i为“库房中的一件产品来自第i条流水线”，D为“一件产品是次品”．（1）写出概率)(iAP，)3,2,1(i；解：..AP,.AP,.AP050)(800)(150)(321（2）写出条件概率)(iADP，)3,2,1(i；解：..ADP,.ADP,.ADP030)(010)(020)(321（3）求从库房取到了一件次品的概率；解：由全概率公式知01250030050010800020150)()()(31.......ADPAPDPiii（4）已知从库房取到了一件次品，求它来自第3条流水线的概率．解：由贝叶斯公式知.....DPADPAPDAP25312001250050030)()()()(333或-----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线----------------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线---------------------------------------------4三．（本题满分12分）设某种型号的电子元件的寿命X（单位：小时）的概率密度函数为其它010001000)(2,x,xxfX（1）求元件的使用寿命在1500小时以下的概率；解：dxxdxxfXPX15001000215001000)()1500(.x31]1000[100015002（2）现有5个这种元件独立工作，以Y表示其中寿命小1500小时的元件个数.写出Y的分布律；解：).31(5,b~Y分布律为.,,,,,k,CkYPkkk543210)32()31()(55（3）求这5个元件中最多有1个寿命小于1500小时的概率．解：)0()0()1(YPYPYP.CC243112732)32()31()32()31(54411550055四．（本题满分12分）设随机变量Y,X相互独立，其联合分布律满足下表．YX123)(iyYP11/81/121/241/423/81/41/83/4)(ixXP1/21/31/61(1)将上表中的空格填写完全；(2)求YXZ1的分布律；1Z2345kp1/811/247/241/8(3)求)(2Y,XmaxZ的分布律；2Z123kp1/817/241/6(4)求)(3Y,XminZ的分布律．3Z12kp5/83/8-----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线----------------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线---------------------------------------------6五．（本题满分12分）设二维随机变量),(YX的联合概率密度为其他当,010,,1),(xxyyxf(1)求X的边缘概率密度)(xfX；解：dyy,xfxfX)()(其它01021,x,xdyxx(2)求条件概率密度)(xyfXY；解：当10x时，)(xyfXY有定义，且其它021)()()(,xy,xxfy,xfxyfXXY当(3)求条件概率)410(XYP；解：由(2)知，其它0412)41(,y,XyfXY当，故)410(XYP.dydyXyfXY212)41(4100(4)求概率)1(YXP．解：dxdyy,xfYXPyx)()1(1dxdyG1.41)211(121yy=x01xy=-xyy=xG01xx+y=1y=-x7六．（本题满分10分）设随机变量X与Y相互独立，且概率密度分别为其它0101)(,x,xfX,其它00)(2222,y,ebyyfbyY求YXZ的概率分布密度)(zfZ．解：X与Y相互独立，YXZ，故有卷积公式dyyfyzfzfYXZ)()()(而.yzyzyyzyfyzfYX010100)()(如图yy=zy=z-101z(1)0z时，0)(zfZ；(2)10z时，dyebyzfbyzZ222021)(22222021][bzzbyee；(3)1z时，dyebyzfbyzzZ222121)(22222222)1(12][bzbzzzbyeee．综上知110100)(22222222)1(2z,eez,ez,zfbzbzbzZ．-----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线----------------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线---------------------------------------------8七．（本题满分10分）设随机变量X服从指数分布，概率密度为0001)(1xxeθxfxθ证明：对任意正数t,s有.tXPsXtsXP)()(（此性质称为指数分布的“无记忆性”．）证明：11)()(txθtdxeθdxxftXP右式.eeθttxθ][1)()()()()(tXPtsXPtXPsX,tsXPsXtsXP左式.tXPeeeθtθsθts右式)(证毕．八．（本题满分6分）已知若事件21,AA同时发生，则事件A必然发生，证明：.1)()()(21APAPAP证明：因为若事件21,AA同时发生，则事件A必然发生，故AAA21，从而).()(21APAAP（1）又因为1)()()()(212121AAPAPAPAAP所以1)()()(2121APAPAAP（2）结合（1）（2）知.1)()()(21APAPAP证毕．