第8章应力状态分析和强度理论

简明材料力学刘鸿文主编(第2版)主讲徐元8.1应力状态的概述8.3二向应力状态分析8.4二向应力状态的应力圆8.5三向应力状态8.6广义胡克定律8.9四种常用强度理论第8章应力状态分析和强度理论低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁问题的提出?8.1应力状态的概念脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁8.1应力状态的概念一、应力状态的概念（1）拉中有剪，剪中有拉；（2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力;（3）同一面上不同点的应力各不相同;（4）同一点不同方向面上的应力也是各不相同1.重要结论哪一点？哪个方向面？哪一个面上？哪一点？2.一点的应力状态过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状态,亦指该点的应力全貌。应力二、应力状态的研究方法1.单元体（2）任意一对平行平面上的应力相等2.单元体特征3.主单元体各侧面上切应力均为零的单元体。（1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布3122314.主平面切应力为零的截面。5.主应力主面上的正应力。规定按代数值大小的顺序来排列,即321直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。FFkkpFkk2coscospsincossinsin22p直杆拉伸8.1应力状态的概念（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零复杂应力状态三、应力状态的分类312231221111FlaSMFlTFaS平面zMzT4321yx1zzWMσtTW3zzWMσtTW[例题1]画出如图所示梁S截面的应力状态单元体。Fl/2l/2S平面S平面4zFlM2F543211232231[例题2]画出梁危险截面危险点的应力状态单元体mm化工容器二向应力状态环向薄膜应力轴向薄膜应力m例题3分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pyＯFNFNpD′nn例题4分析滚动轴承、列车轨道受内压时的应力状态三向应力状态0nF0tF1.斜截面上的应力yaaxydAαntxyx8-3二向应力状态分析(解析法)xyxyyxxy0nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程0tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxyyaaxydAαntxyx8-3二向应力状态分析-解析法利用三角函数公式)2cos1(21cos2)2cos1(21sin22sincossin2{并注意到化简得xyyx2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx8-3二向应力状态分析-解析法2.正负号规则正应力：拉为正；压为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。yaaxyαntxyxx8-3二向应力状态分析-解析法xyxyyxxy2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设α＝α0时，上式值为零，即02cos22sin)(00xyyx3.正应力极值和方向02τcos2ατsin2α2)σ(σ20α0xy0yx即α＝α0时，切应力为零上式可确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1σ2σ322min212xyyxyx22max212xyyxyxyxxy22tan09000下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角。（1）当xy时,0是x与max之间的夹角（2）当xy时,0是x与min之间的夹角（3）当x=y时,0=45°,主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来则确定主应力方向的具体规则如下：若|0|45°即0取值在±45°范围内2222222cossinsincosxyyxxyyxyx4.最大切应力的方位0]2sin2cos2[2ddxyyx令xyyx221tan90111和1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面。4.最大切应力将1和1+90°代入公式222cossinxyyx得到max和min222xyyx)(minmaxxyyx221tanyxxy220tan比较和可见10212tantan4π,2π220101试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。yxxy。30，MPa60xMPa,30xy,MPa40y已知8-3二向应力状态分析-解析法解：（1）斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3.58yxxy8-3二向应力状态分析-解析法（2）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3.682yxxyyx22)2(minMPa3.48MPa3.48,0MPa,3.68321yxxy8-3二向应力状态分析-解析法主平面的方位：yxxytg2206.0406060,5.1505.105905.150yxxy代入表达式可知主应力方向：15.150主应力方向：35.10508-3二向应力状态分析-解析法（3）主应力单元体yxxy5.15138-3二向应力状态分析-解析法[例8.2]已知：横力弯曲，MPaMPa14,70试确定A点的主平面方位，计算主应力，并讨论同一横截面上其他点的应力状态。BAlFRAqFRBxmamAxyxxxyxyxyxy解：1）计算主平面的方位yxxy22tan040.070142MPaMPa8.21209.1002）计算主应力22minmax4212xyyxyx22)14(4070212070MPa7.727.2xyxxxyxyxyxy因为yx0是x与min之间的夹角033MPaMPa7.72,0,7.232max1110x主单元体4）讨论同一截面上的不同点的应力状态xxBCxxxyxyDxyxyxxxyxyxyxyAA横力弯曲BCDExxxyxyxyxyE8-3二向应力状态分析-解析法022xyxytg2max2min22xyxyxymax1min3xyxyxy13此现象称为纯剪切纯剪切应力状态045135或452sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2(这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆。8-4二向应力状态应力园(图解法)把两式等号两边各自平方后相加，可消去，得xyyxyx2222)2()2(RC)0,2(yxC1.应力圆8-4二向应力状态应力园(图解法)圆心的横坐标xyyxR22)2(2.应力圆的画法D(x,xy)D/(y,yx)cyyxxyADxyx8-4二向应力状态应力园(图解法)RxyyxR22)2(2yxo点面对应—应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力3、几种对应关系D(x,xy)D/(y,yx)cxy2yyxxyxxyHn),(aaH28-4二向应力状态应力园(图解法)4.平面应力状态的极值应力),(xxDF),(yyEoKCAmaxBminCAOCminmaxxyxxyy22)2(2xyxyx02A(100,-20)B(30,20)D(91,31)C20解：先选定比例尺FMPaOF91040MPaFD31040[补充例题]图所示微元体,试用图解法(即应力圆)求。,30,100MPaMPayx4040,,20MPax080xyxxxyyxyyxnyxxCFDF22tan0负号表示由x截面至最大正应力作用面为顺时针方向。最大正应力所在截面的方位角max),(xxDF),(yyEoKCA2/)(yxB2/)(yx02Cxxxyyxyyminmax0minmax0BFDF0tanminxx在平行于Z轴的各截面中，最大与最小切应力分别为：22minmax)2(xyxCKxxxyyxyyminmax0minmaxmaxmin（1）点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标。AB（2）夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。2OCBA说明定义：231三个主应力都不为零的应力状态8-5三向应力状态由三向应力圆可以看出：231max结论：代表单元体任意斜截面上应力的点，必定在三个应力圆圆周上或圆内。21332108-5三向应力状态max1max3min1.基本变形时的胡克定律xxEExxyxyx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律G8-6广义胡克定律2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法23132111E12311()E2()E3()E8-6广义胡克定律=++23132111E13221E21331E8-6广义胡克定律)]([1zyxxEGxyxy3、广义胡克定律的一般形式)]([1xzyyE)]([1yxzzEGyzyzGzxzxxyzxyyxyzzyzxxz8-6广义胡克定律][max,maxAFN（拉压）][maxmaxWM（弯曲）（正应力强度条件）][*max