第2章 平面体系的几何组成分析

结构力学STRUCTUREMECHANICS第2章平面体系的几何组成分析2.1概述一、几何不变体系：在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形状是不会改变的体系（图1）。（图1）二、几何可变体系：在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形状是可以改变的体系（图2）。（图2）PP几何组成分析三、几何组成分析的目的：1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构。2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。几何组成分析一、自由度决定体系几何位置的彼此独立的几何参变量数目。1、一个点在平面上有两个自由度（图1）。2、一个刚片在平面上有三个自由度（图2）。xyyxA(x,y)o（图1）yx（图2）yoxA(x,y)2.2几何不变体系的基本组成规则二、刚片体系几何形状和尺寸不会改变，可视为刚体的物体。三、点、刚片、结构的自由度几何组成分析2.3瞬变体系独立变化的几何参数为：x、y。独立变化的几何参数为：x、y、。四、约束（联系）1、约束——减少体系自由度的装置。凡能减少一个自由度的装置叫作一个约束。。2、一根链杆相当于一个约束(图3）。yox（图3）yoxxy3、单铰：连结两个刚片的铰称为单铰。一个单铰相当于两个约束(图4）。yox（图4）yoxxy几何组成分析4、复铰：连结两个以上刚片的铰称为复铰。联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰，减少(n-1)×2个约束（图5）。5、刚性联结或固定端约束相当于三链杆，即三个约束(图6）。（图5）yoxxyyox（图6）yoxxy几何组成分析单铰与链杆的约束关系一个单铰相当于两个链杆。ABCDO虚铰、瞬心AB实铰ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ实铰ⅠⅡ无穷远平行⑶必要约束与多余约束必要约束—保持几何不变所必须的约束。多余约束—保持几何不变非必须的约束。绝对必要约束多余约束具有相对性1、两个刚片之间的联结（规则一）：两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系）。刚片2刚片1DE刚片1刚片2ABCDOEF特殊情况：（1）三根链杆交于一点ABC实饺：几何可变虚饺：几何瞬变几何组成分析五、几何不变体系的基本组成规则§1-3平面杆件体系的几何组成分析2、两刚片规则两个刚片用不全交于一点也不全平行的三个链杆相联结,或用一个单铰和一个方向不通过单铰的链杆相联结,组成的体系几何不变，且没有多余约束。AⅠⅡBCABC条件不满足时的五种情况瞬变体系平行不等长α1α2α3Δ常变体系平行等长三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。（2）三根链杆相互平行2、三个刚片之间的联结（规则二）：实饺虚饺三饺共线（瞬变）几何组成分析§1-3平面杆件体系的几何组成分析四、平面几何不变体系组成的基本规则1、三刚片规则三个刚片用不共线的三个单铰两两相联结,组成的体系几何不变，且没有多余约束。ⅠⅡⅢABCABC瞬变体系ABC常变体系ABCABCCBA条件不满足时的两种情况三刚片规则的变种3、一个刚片与一个结点之间的联结（二元体规则）（规则三）：在刚片上用两根不在一条直线上的链杆联结出一个结点，形成无多余约束的几何不变体系（或：在一个刚片上增加二元体）。刚片1B注意：1、若同时用三根链杆联结C点，则必有一链杆多余。其中任一根链杆称为“多余约束”。D2、若两链杆共线，则形成“瞬变体系”；见下图。ACABCC’几何组成分析二元体规则：在一个体系上增加或去掉二元体，不改变体系的几何组成性质。§1-3平面杆件体系的几何组成分析五、平面体系几何组成分析方法与步骤三个规则是相通的，即铰结三角形的不变性。1、计算自由度计算自由度w＞0，几何可变；w≤0，可变与否需作分析；但通常可略去w的计算。2、分析标明刚片和约束，说明刚片和约束之间的关系，是否满足规则。3、结论新结点2.4几何组成分析举例一、方法一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。二、步骤1、若体系可视为两个或三个刚片时，则直接应用三规则分析。2、若体系不能直接视为两个或三个刚片时，可先把其中已分析出的几何不变部分视为一个刚片或撤去“二元体”，使原体系简化。`三、举例例题1结论:无多余约束几何不变体系几何组成分析例题2结论:无多余约束几何不变体系例题4例题3结论:有2个多余约束的几何可变体系结论:有3个多余约束的几何不变体系几何组成分析§1-3平面杆件体系的几何组成分析例题1ⅠⅡⅢⅣ235614§1-3平面杆件体系的几何组成分析例题2例题3§1-3平面杆件体系的几何组成分析例题4ⅠⅡⅢⅢⅠ（Ⅰ，Ⅱ）（Ⅰ，Ⅲ）（Ⅱ，Ⅲ）（Ⅰ，Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）（Ⅰ，Ⅲ）例题5§1-3平面杆件体系的几何组成分析ⅠⅡⅢ（Ⅰ，Ⅱ）（Ⅰ，Ⅲ）（Ⅱ，Ⅲ）Ⅰ（Ⅰ，Ⅱ）（Ⅰ，Ⅲ）（Ⅱ，Ⅲ）Ⅰ（Ⅰ，Ⅲ）（Ⅰ，Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）例题6（Ⅰ，Ⅲ）§1-3平面杆件体系的几何组成分析应用三刚片规则时，三个（虚）铰的位置有三种情况αα≠0，几何不变；α＝0，几何瞬变。情况1：一铰在无穷远情况2：两铰在无穷远αα≠0，几何不变；α＝0，四根平行链杆不等长，几何瞬变；α＝0，四根平行链杆等长，常变。情况3：三铰在无穷远几何瞬变。平行不等长平行等长§1-3平面杆件体系的几何组成分析例题7例题8几何组成分析2.5体系几何组成与静力特性的关系一、几何可变体系一般无静力解答。二、无多余联系的几何不变体系静力解答唯一确定。三、几何瞬变体系其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。四、具有多余联系的几何不变体系静力解答有无穷多组解。§2.5平面杆件体系的几何组成与静力特性的关系二、体系的静力解答的特性1、无多余约束的几何不变体系—静定结构独立的平衡方程数等于未知力的个数。并且解是唯一的，这一性质称为静定结构解答的唯一性。2、有多余约束的几何不变体系—超静定结构独立的平衡方程数小于未知力的个数。由线性代数，方程组的解有无穷多组解。所以，对超静定结构，满足平衡条件的解有无穷多组。只有既满足平衡条件又满足变形条件的解才是唯一的。§1-4平面杆件体系的几何组成与静力特性的关系3、瞬变体系图示瞬变体系，当发生微小位移后，由A点的平衡条件可求得：二、体系的静力解答的特性AP((αPx1x2((αA210sin0,xxαPxxsin221即瞬变体系在外力作用下，内力趋于无穷，体系不能维持平衡。瞬变体系不能作为结构使用。几何组成分析体系几何组成分析习题课一、几何组成分析的目的二、几何不变体系的简单组成规则（三个规则）三、自由度的计算方法1、平面刚片系统：W＝3m－3g－2h－b式中：Ｗ——自由度数m——刚片数g——刚性联结数h——简单铰数b——链杆数2、平面铰结系统：W＝2j－b－r式中：Ｗ——自由度数j——结点数b——内部链杆数r——外部链杆数1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构。2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。几何组成分析四、注意点1、复铰的概念：联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约束。。O简单铰O复铰几何组成分析2、封闭框格不能视为一个刚片，其内部有三个多余约束。3、对体系进行几何组成分析时，如何给出结论：若体系为几何可变或几何瞬变，则“该体系为几何可变体系”或“该体系为几何瞬变体系”即为最后结论。若体系为几何不变体系，则除指出“该体系为几何不变体系”外，还必须指出该体系有无多余约束及多余约束的个数。§1-3平面杆件体系的几何组成分析五、平面杆件体系自由度的计算1、一般体系自由度的计算设：m—刚片数；h—单铰数；r—支座链杆数；w—计算自由度；则：mw3h2r注：（1）刚片指本身没有多余约束的几何不变部分；（2）计算自由度不是体系的实际自由度。m=h=r=3512121+2+2+1=6w=3×5－2×6－3=0例题1解：§2-3平面杆件体系的几何组成分析例题2解：m=h=r=3w=3×4－2×5－3=－1412111+2+1+1=5例题3解：m=11h=11111144317r=3w=3×11－2×17－3=－4§1-3平面杆件体系的几何组成分析五、平面杆件体系自由度的计算2、铰结链杆体系自由度的计算设：j—结点数；b—链杆数；r—支座链杆数；w—计算自由度；则：jw2br注：这里的结点必须是完全铰结点。例题4j=9b=15r=3w=2×9－15－3=0解：3、结果分析计算自由度w＞0，几何可变；w＝0，可变与否需另作分析；w＜0，有多余约束，可变与否需另作分析。几何组成分析ECAFDGHJBABCDEF3mh2m2m2m2mABC变动等长杆AB、AC的长度，使铰A在直线上移动，而其余结点不动，则H不能等于何值？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)五、练习：答案：（2）3次超静定（3）几何瞬变（5）6次超静定（8）h=3m其余静定。试对图示体系进行几何组成分析：ECAFDGHJBABCDEF3mh2m2m2m2mABC变动等长杆AB、AC的长度，使铰A在直线上移动，而其余结点不动，则H不能等于何值？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ECAFDGHJBABCDEF3mh2m2m2m2mABC变动等长杆AB、AC的长度，使铰A在直线上移动，而其余结点不动，则H不能等于何值？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ECAFDGHJBABCDEF3mh2m2m2m2mABC变动等长杆AB、AC的长度，使铰A在直线上移动，而其余结点不动，则H不能等于何值？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ECAFDGHJBABCDEF3mh2m2m2m2mABC变动等长杆AB、AC的长度，使铰A在直线上移动，而其余结点不动，则H不能等于何值？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ECAFDGHJBABCDEF3mh2m2m2m2mABC变动等长杆AB、AC的长度，使铰A在直线上移动，而其余结点不动，则H不能等于何值？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ECAFDGHJBABCDEF3mh2m2m2m2mABC变动等长杆AB、AC的长度，使铰A在直线上移动，而其余结点不动，则H不能等于何值？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ECAFDGHJBABCDEF3mh2m2m2m2mABC变动等长杆AB、AC的长度，使铰A在直线上移动，而其余结点不动，则H不能等于何值？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)几何组成分析六、虚铰在无穷远的情况1、一个虚铰在无穷远的情况（1）构成虚铰的两链杆与第三杆平行且等长——几何可变体系。（2）构成虚铰的两链杆与第三杆平行但不等长——几何瞬变体系。（3）构成虚铰的两链杆与第三杆不平行——几何不变体系（左图）。几何组成分析2、两个虚铰在无穷远的情况（1）构成虚铰的四根链杆平行且等长——几何可变体系。（2）构成虚铰的四根链杆平行但不等长——几何瞬变体系。（3）构成虚铰的四根链杆两两不平行——几何不变体系（右图）。3、三个虚铰在无穷远的情况几何瞬变体系。因为无穷远处的所有点都在一条广义直线上。几何组成分析课后考查(1)：试对图示体系进行几何组成分析答案：（1）几何不变体系，有4个多余约束。（2）几何不变体系，有6个多余约束。（3）几何不变体系，有3个多余约束。（4）几何不变体系，有2个多余约束。（5）几何不变体系，有6个多余约束。（6）几何不变体系，无多余约束。课后考查(2)：试对图示体系进行几何组成分析答案：（1）几何不变体系，有2个多余约束。（2）几何不变体系，有10个多余约束。（3）几何不变体系，有2个多余约束。（4）几何瞬变体系。（5）几何可变体系。几何组成分析课后考查(3)：试对图示体系进