05-()分析力学基础-拉格朗日方程

2、动力学普遍方程存在着致命的弊病：在求解多自由度会遇到极大困难，几乎难以下手。1、全部动力学问题归结为求解一个动力学普遍方程。是最高度的概括原因：方程中3n个笛卡尔坐标不是独立的。对于完整系统只有N=3n-s个是独立的。拉格郎日开创的分析力学，就是为克服动力学普遍方程的弱点，解决多自由度、非自由系统的动力学问题而发展完善的。1、分离独立坐标法。解决动力学普遍方程困难主要有三条途径：2：拉格郎日乘子法解算动力学普遍方程。这种方法在实际应用中，并不可取，但是起步艰难的第一步，同时是解微分方程的一种重要方法3：拉格郎日第二类方程：采用广义坐标代替笛卡尔坐标，彻底改造动力学普遍方程，得到一组二阶常微分方程。３—4第一类拉格朗日方程对约束方程两边变分我们引入符号++kkkkiiiffffxyzijkr=10(1,2,3,,)nkifksiirr实际这也是虚位移应当满足的约束引入拉格朗日方程将上式两端乘并对k求和(1,2,3,,)kksk1=1110snnskkkkikiikffiiirrrr将上式与动力学普遍方程两式相减，可得这就是拉格朗日方程乘子的动力学方程，即第一类拉格朗日方程。共有3n+s个未知量，可与s个约束方程可联立求解。110nskiiikiikfFmrirr10(1,2,,)skiiikkfFmrinir独立坐标有3n-s个，对于不独立坐标，我们可选取适当的使上式等于零，从而有k1=1110snnskkkkikiikffiiirrrr第一类拉格朗日方程优点：1.既可用于完整系统，也可用于非完整系统。具有更为普遍的应用性。2.既可求运动，也可求约束力。第一类拉格朗日方程弱点：1.没有采用广义坐标，约束越多，自由度越少，反而方程数越多。2.不能直接用于解决刚体系统的动力学问题。3.对于完整系统不如第二类拉格朗日方程方便，对于非完整系统又远不如罗兹和阿沛尔方程。步骤：1.列出笛卡尔坐标下的约束方程。3.分析各质点上的主动力。2.根据约束方程确定。kfir4.根据第一类拉格朗日方程，列出运动微分方程。5.与约束方程联立求解，确定积分常数已知：M1的质量为m1，M2的质量为m2，杆长为l。试建立此系统的运动微分方程。1.约束方程3.各质点上的主动力22211212120()()0fyfxxyyl110fijjr1122FmgFmgjj2.2121212()2()fxxyyijr1200=0fijr2121222()2()fxxyyijr112122()0mxxx4.根据第一类拉格朗日方程，列出运动微分方程10skiiikkfmiFrr11121212()0myyymg2221222()0myyymg222122()0mxxx111101ffxy221212112()2()ffxxyyxy11220=0ffxy221212222()2()ffxxyyxy5.与约束方程联立求解可得:222122()mxxx1121122mgmgmymy1122112112221222121212121212000()()()()()()0mxmxyyymxmymgxxxxxxxxyyyyyy1222mgmgmy由约束方程可得1221212121212120()()()()()()0yxxxxxxyyyyyy已知：图示三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑动，A和B的质量各为m2与m1，三棱柱B的斜面与水平面成θ角。如开始时物系静止，忽略摩擦。求运动时三棱柱B的加速度。1.约束方程3.各质点上的主动力11120,00ffijijrr1122FmgFmgjj2.2212tan0tanffi+j,i+jrr1122210()tanfyfyxx由y1=0,并由2式可得221()tanyxx11120,00ffijijrr2122tan0tanffi+jri+jr4.根据第一类拉格朗日方程，列出运动微分方程2212tan(1tan)xgm10skiiikikfFmrr112tan01mx111102mgmy222204mgmy222tan03mx11mg由约束方程可得将(3)和(4)式代入上式可得222112tansec0tanmmxgm2212tansecxgm2212tan(1tan)xgm12112tansectanmxgxm将(3)和(4)式代入上式可得再将(1)式代入上式消去λ2可得22212222211212tansincossin2tansecsin2(sin)mgmgmgxmmmmmm1221212121212120()()()()()()0yxxxxxxyyyyyy112122()0mxxx11121212()0myyymg2221222()0myyymg222122()0mxxx2211212122()2()mxmxxxxx1121122mgmgmymy1122112112221222121212121212000()()()()()()0mxmxyyymxmymgxxxxxxxxyyyyyy由质心运动定理可得22sinmxF杆22l22sinmxF杆2212()mlxxx222122()mxxx1121122mgmgmymy112212NmymymgmgF1222mgmgmy121122NFmgmgmymy