桥联模型的解

阶段报告魏高峰2003.10.20题目：轴对称问题的解基本假设设基体和纤维都是由均质、各向同性线弹性材料组成，边界条件为空间轴对称问题令是三维圆柱体未变形前的区域，可以是实体，也可以是中空的。选择柱坐标系Rzr,,2,0,,|,,zrzrR一、控制方程（Governingequations）1、几何变形方程zwruruzr,,rwzurz2、在不考虑体力的情况下，平衡方程为0rzrrrzr0rrzrzrzz3、广义虎克定律式中控制方程(续)ruEGrr2112ruEG2112zwEGzz2112rwzuEErzrz1212zwruruzr4、由应力表示的轴对称问题的相容方程这里控制方程(续)01122222rrrr0111222rrrr011222zz0111222zrrrzrz222221zrrr为Laplacian算子5、用位移法表示的基本方程用位移法求解空间轴对称问题，归结为在一定的边界条件下的定解问题控制方程(续)021122ruur02112wz二、Love位移函数Love引入了一个位移函数，把位移分量表示为：zr,zrGu2212221221zGw由Love位移函数，应力分量可表示为222rzrrrz122222zzz2221zrrz将Love位移函数代入平衡方程，则Love位移函数必须满足双调和函数：因此，轴对称问题简化为求解满足一定边界条件和约束条件的双调和方程022Love位移函数(续)三、Fourier变换域内的基本方程对双调和方程进行Fourier变换（对）zdzezrzrFtrFitz,,,22221ˆtdrdrdrd双调和方程变为0,ˆˆ22trF令rtddtdddrddrd22222ddtddtdddrdddtdrddrd所以222222ˆtddtddt因此01111ˆˆ2222422FddddddddtF即011112222Fdddddddd该方程有四个解，方程01122Fdddd为改进的零阶Bessel方程，它的两个解满足双调和方程Fourier变换(续)Bessel函数、是方程的两个解。（为零阶Bessel函数，是零阶诺依曼函数）0J0N0J0N为了得到另一类线性无关的解，令，则的一次和二次导数为FFˆFFdFdFddddFˆˆˆdFddFdFdddFdˆ2ˆˆ222222因此FddddFddddˆ13112222Fourier变换(续)令FddddF1122*或FddddFˆ1322*双调和方程可重写为011*22Fdddd对的一次导数和二次导数分别为*FFFdFddFddFddFdddFˆˆˆˆ1ˆ4ˆ22233*FdFddFddFddFddFddFddFdˆ2ˆ2ˆ2ˆˆ1ˆ5ˆ32222233442*2Fourier变换(续)所以，方程展开为0ˆ1113522222Fdddddddd方程0ˆ111222Fdddd的解满足上式，是改进的一阶Bessel方程，它的两个解为11ˆJF12ˆNF而FFˆ所以，双调和方程的解为1010,JDCJNBANtrFFourier变换(续)对纤维和基体材料，分别有110111011,JDJCNBNAtrFc0120212022,JDJCNBNAtrF)(c其中：、、、、、、、是未知量，它们是变换变量的函数1A1B1C1D2A2B2C2Dt根据Bessel函数在和时的特性，有0rr对纤维对基体01A01B02C02DFourier变换(续)因此11011,JtDJtCtrF12022,NtBNtAtrFFourier变换(续)对的一阶和二阶导数为trF,r011111JtDJtCtddFtdrdF1111010122122212JtDJtCJtDJtCtdFdtdrFd021222NtBNtAtddFtdrdF1212020222222222NtBNtANtBNtAtdFdtdrFd对应力分量进行Fourier变换，有trFtitz,ˆ2ˆ22trFtrzr,ˆ122对Love位移函数进行Fourier变换，有Fourier变换(续)trFtGw,ˆ1221ˆ22trFdrdGitu,2ˆtrFdrditr,ˆˆ222trFdrdrit,1ˆˆ2对纤维ar011112112,2ˆJtDJtCGittrFdrdGitu1101211012011111011101211221111221,ˆ1221ˆJtDJtCtJtDJtCtJtDJtCrtJtDJtDJtCJtCtGtrFtGw所以dteuzruizt11ˆ21,dtewzrwizt11ˆ21,Fourier变换(续)对基体ar0212222222,2ˆNtBNtAGittrFdrdGitu12022120220212120212022222222221221,ˆ1221ˆNtBNtAtNtBNtAtNtBNtArtNtBNtBNtANtAtGtrFtGw所以dteuzruizt22ˆ21,dtewzrwizt22ˆ21,Fourier变换(续)四、边界条件zauzaurr,,21zawzawrr,,21