专题复习——求轨迹方程

第1页共9页专题复习——求轨迹方程一.本周教学内容：专题复习——求轨迹方程（一）求轨迹方程的一般方法：1.待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。2.直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。4.代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。（二）求轨迹方程的注意事项：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方ttgytfx，yx，F来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。【典型例题】例1.的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点MAB，a，，AbyaxB)02(12222轨迹方程。分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。解：设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）则由M为线段AB中点，可得第2页共9页yyaxxyyxax22220220000即点B坐标可表为（2x－2a，2y）上在椭圆点又1)(222200byax，yxB，byaaxbyax1)2()22(12222220220从而有14)(42222byaaxM，的轨迹方程为得动点整理。b，a，a，M的椭圆短半轴为长半轴为为中心的轨迹是以动点22)0(例2.求椭圆的左顶离心率为轴为准线并且以动椭圆过定点，，y，，M21)21(点A的轨迹方程。分析：先画出示意图，如图所示：根据已知条件：动椭圆过M（1，2）且以y轴为其准线，可见该椭圆位于y轴右侧，注意到点M在椭圆上，故联想到椭圆的几何性质：椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。即可发现间接涉及动顶点A的等量关系。只需用A的坐标先表示出左焦点F的坐标，即可列出轨迹方程。解：，A，e，，yxF，yxA在椭圆上及点则由离心率左焦点为，设21)()(0，xxx，AKAF2121||||0即可得)23(230yxFx，x，又∵M在椭圆上，第3页共9页，，即211)2()231(21||||22yxMNMF141)2(91)32(1)2(4)32(92222yxyx，即化简，得的椭圆。，短半轴为为中心，长半轴为，该方程表示以3121)232(例3.过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。分析1：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法1：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，02242204y，kxkPBPA而0521224·224yxyx，化简，得注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：||21||ABMP解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形||21||ABMP，由直角三角形的性质2222)2()2(·21)4()2(yxyx第4页共9页化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。分析3：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。解法3：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）)2(14221xkyl，ll的方程为则直线由，，Axl)0k42(1的坐标为轴交点与，k，Byl)240(2的坐标为轴交点与∵M为AB的中点，)(1222421242为参数kkkykkx消去k，得x＋2y－5＝0。另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。例4.已知定点A（2，0），点Q是圆x2＋y2＝1的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程。分析1：||||||||OQOAMQAM，知的性质由三角形的内角平分线，MQAM，OQ，OA2||||1||2||故而即点分成比为，MAQ2若设出M（x，y），则由分点坐标公式，可表示出点Q的坐标，因Q、M为相关点，（Q点运动导致点M运动），可采用相关点法求点M的轨迹方程。第5页共9页解法1：设M（x，y），，OQAOMQAM，2||||||||得质定理由三角形内角平分线性∵M在AQ上，∴点分成比为MAQ2，21·2021·22)()02(0000yyxx，，yxQ，A则的坐标为若设点又上在圆而点1)(23223220000yx，yxQyyxx94)32(1)23()223(122222020yx，，yx，yx得化简即。的轨迹方程为点94)32(22yxM分析2：，QOAOQMAM，2||||||||知性质由三角形的内角平分线，QMAMONANN，OAOQMNM2||||||||则于交∥作若过，OQ，AQAMOQMN，，N1||32||||||||)032(而从而。的距离为定值到定点可见动点为定值3232||32||NM，OQMN，，NM的圆半径为为圆心的轨迹是以因此32，yx94)32(22其方程为而当∠AOQ＝180°时，其角分线为y轴，它与AQ交点为原点O，显然，该点也满足上述轨迹方程。注：此种解法为定义法。例5.如图，给出定点A（a，0），（a0）与定直线l：x＝－1，点B是l上动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值关系。第6页共9页分析：由OC是∠AOB的平分线，可联想到如下结论：（1）点C到∠AOB的两边OA，OB的距离相等；（2）OC与OA、OB所成的角相等。。||||||||)3(BOAOBCAC对于（1）、（2）、（3），若再注意到点C在直线AB上，则可求得轨迹方程。因此，本题从不同角度入手，则有不同解法。解法1：设B（－1，b），C（x，y），直线OB的方程为y＝－bx，即bx＋y＝0，∵OC平分∠AOB，∴点C到角的两边距离相等。①||1||2ybybx又∵点C在直线AB上，∴A、B、C三点共线②即，abaxy，kkABAC1③由②得xayab)1(④由①得0·2)(22xyyxb把③代入④，得)0(02)()1(22axxyxayxyayaxyxaxaxayax≠时，·，即012011202222()()()()())0(axy＝0时，b＝0，∠AOB＝180°，点C坐标为（0，0），满足上述方程。故方程（a－1）x2－(a＋1)y2＋2ax＝0是点C的轨迹方程。当a＝1时，方程为y2＝x，（0≤x1），它表示抛物线的一段；)0(11)1()1(122222ax，aayaaaax，a方程为时当第7页共9页∴0a1时，轨迹为椭圆弧；a1时，轨迹为双曲线弧。解法2：设B（－1，b），C（x，y）b，kxy，kkOBOCOA0则∵OC平分∠AOB∴∠AOC＝∠COB∴tg∠AOC＝tg∠COB，∴··，整理，得，①yxyxbyxbyxyxbxybyx0101()得消去代入①式又b，，，xayababaxy)1(1)0(0)(2)()1(22ax，xaxyyxya以下略，（见解法1的相应部分）解法3：设B（－1，b），C（x，y），又A（a，0）1||||)()1(||)1(||22222bBOa，AO，byxBC，baAC∵OC平分∠AOB，由三角形内角平分线性质，得1)()1()1(||||||||22222babyxba，BOAOBCAC即整理，得(b2＋1)·[(a＋1)2＋b2]＝a2[(x＋1)2＋(y－b)2]得整理代入上式得又由，，xayabkkABAC)1()0(0)(2)()1(22ax，xaxyyxya以下略。（同解法1的相应部分）【模拟试题】1.长为3a（a0）的线段AB的两端点A、B分别在y轴、x轴上运动，P点分线段AB或正比2：1，求点P的轨迹方程。2.△ABC的顶点B、C双曲线191622yx的焦点，点C在抛物线y＝4x2上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程。3.自双曲线122yx上的动点A引直线x＋y＝2的垂线，垂足为B，求线段AB中点M的轨迹方程。第8页共9页4.已知定点A（－1，0），B（2，0），P为动点，且∠PBA＝2∠PAB，求动点P的轨迹方程。5.以双曲线222yx的右准线l为左准线，以双曲线的右焦点F为左焦点的椭圆C的短轴顶点为B，求BF中点M的轨迹方程。第9页共9页【试题答案】1.22244ayx2.)00(122，yx，xy3.)4345(01222222，yx，yxyx4.)1(1322x，yx5.)1()2(212x，xy