28第2章 RC电路的过渡过程

第2章RC电路的过渡过程动态元件及电压、电流关系2.12.2一阶RC电路的响应2.32.1动态元件及电压、电流关系2.1.1电容元件1.两个导体中间隔以电介质所构成的实体元件叫做电容器。图2.1电容元件符号电容元件每个极板所带电荷量的多少与两极间电压的大小有关，电荷量q与电压u的比值为uqC2.电容元件的储能当选择电容元件电压、电流为关联参考方向时，电容元件的瞬时功率为dtduCuuip设t=0瞬间电容元件的电压为零，经过时间t电压升高至u，则任一时刻t电容元件储存的电场能量为2000C21CuCududtdtduCupdtWttt2.1.2电感元件1.导线中有电流，在它的周围就产生磁场。通常把导线绕制成如图2.4所示的螺旋状，称为电感线圈。2.电感元件的储能当电感元件有电流通过时，电流在线圈周围产生磁场，并储存磁场能量。因此，选择电压、电流为关联参考方向时，电感元件的瞬时功率为dtdiLiuip2000L21LiLididtdtdiLipdtWttt2.2换路定律2.2.1电路的过渡过程2.2.2换路定律2.2.3初始值的确定2.3一阶RC电路的响应2.3.1RC电路的零输入响应如图2.9（a）所示电路，开关S原来位于“1”的位置，电容C已被充电至电压U0。若在t=0时将开关S拨到“2”的位置，则电容通过电阻R放电，电容电压将从U0逐渐下降至0。换路后的等效电路如图2.9（b）图2.9RC电路的零输入响应1.电压、电流的变化规律在图2.9（b）所示电路中，有uC-uR=0电容元件的伏安关系为dtduCiC式中负号是因为图2.9（b）中电容元于是得电路的微分方程0CCudtduRC这是一个关于uC的一阶线性常系数齐次微分方程。根据换路定律有uC(0+)=uC(0-)=U0，代入初始条件解微分方程得电容电压零输入响应的解析式为RCteUu0C(t≥0)电路的电流为RCteRURui0R(t≥0)uC和i随时间变化的曲线如图2.10所示，工程上可以用示波器来观察这些曲线。从函数式或曲线都可以看出，它们都是按照同样的指数规律从各自的初始值逐渐衰减图2.10RC电路的零输入响应曲线2.时间常数从uC和i的表达式可以看出它们衰减的于电路参数R和C的乘积，RC越大，衰减越慢，过渡过程持续的时间越长；反之，RC值越小，衰减越快，过渡过程持续的时间越短。因此，电容电压和电流衰减的快慢，取决于电路中电阻R和电容C的乘积。RC1RC称为电路的时间常数，单位是秒（s），用τ来表示，即τ=RC。引入时间常数τ后，电压、电流的响应可分别写成teUu0CteRUi0(t≥0)(t≥0)uC衰减的快慢只与电路的时间常数τ有关，与初始储能无关。图2.11示出了电容C在三个不同时间常数的放电电路中电压的图2.11不同τ值下的uC曲线从理论上讲，要经历无限长的时间，电容电压才衰减到零，过渡过程结束，但当t=（3～5）τ时，可以算出uC已衰减到初始值的0.05～0.007倍，因此，工程上一般认为换路后经过（3～5）τ的时间，过渡过2.3.2RC电路的零状态响应动态元件的初始储能为零的状态叫零状态。零状态的电路由外施激励引起的响应，称为零状态响应。外施激励可以是恒定的电压或电流，也可以是变化的电压或电流。这里只讨论直流激励引起的响应。图2.13（a）所示电路，开关S原来与“1”闭合已久，电容已充分放电，即uC(0-)=0。t＝0时将开关从“1”扳到“2”的位置，以后电路等效为图（b），即进入由电源US通过电阻R给电容C图2.13RC电路的零状态响应图（b）电路，由KVL得uR+uC=US由于dtduCiCC，则dtduRCRiuCCR得：SCCUudtduRC这是一个关于变量uC的一阶线性常系数非齐次微分方程，根据换路定律有uC(0+)=uC(0-)=0，代入初始条件解微分方程得出电容电压的零状态响应为)1()(tSRCtSSCeUeUUtu(t≥0)进而可得到电阻电压及电路的电流分别为tSCSeUuUtu)(RteRURutiSR)(uC(t)、uR(t)和i(t)随时间变化的曲线如图2.14所示。图2.14RC电路零件状态响应曲线从上述分析可知：电容元件在直流激励下的充电过程，其电压uC从0按指数规律上升到稳态值US；而电阻电压则从0跃变到最大值US后，按指数规律衰减到0；电路中的电流也是从0跃变到最大值后按指数规律衰减到0。电压、电流变化的快慢仍然取决于电路的时间常数τ的大小。RUSτ越大，uC上升越慢，暂态过程越长；反之，τ越小，uC上升越快，暂态过程越短。2.3.3RC电路的全响应及三要素法