梁保松《线性代数》习题五解答(本人亲自求解)

第五章二次型1701.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）向量的内积仍是向量；错误，向量的内积是数量；（2）正交向量组一定是线性无关的向量组；正确，见本章定理1；（3）若α与12,αα正交，则α与12,αα的任一线性组合也正交；正确，因α与12,αα正交，即12,,0αααα，则112211221122,,,,,0αααααααααααkkkkkk（4）n维向量空间中的正交向量组所包含向量的个数至多等于n；正确，因为正交向量组是线性无关的向量组，其逆否命题是：线性相关的向量组一定不是正交向量组，而对于n维向量组来说，1n个n维向量必定线性相关，因此n维向量空间中的正交向量组至多含有n个向量.（5）TT12(cos,sin),(sin,cos)θθθθεε是2R中的标准正交基；正确，12,0，121，故12,正交且长度为1，故是2R中的标准正交基；（6）正交矩阵行列式的值只能是1；正确，正交矩阵A满足TAA=E，2TT1AA=AAAE，则1A或1；（7）若A是正交矩阵，则T1,AA及A的伴随矩阵*A也是正交矩阵；正确，TTTTTTT1111T1,,AAAAAAAAAAEE2**11111AAAAAAAAATTTEE.（8）正交矩阵的行向量组和列向量组都是标准正交向量组.正确,见正交矩阵的性质5.3.设,nR，证明：（1）22222；（2），则,0.22221,,,,,,,,,,,,,,2,,2证（）222,,,,,,,,,0（）5.设A是实反对称矩阵，证明1EAEA是正交矩阵.证T=AA,则第五章二次型17111111111111+++=EAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEEAEAEAEAEAEAEAEAEAEEAEAEAATTTTTTTTT6.证明（1）设A是正交矩阵，若1A,则A一定有特征值1；（2）设A是奇数阶正交矩阵，若1A,则A一定有特征值1.证（1）因TT(1),EAAAAAAEAAEEA故0EA.（2）TTn(1),EAAAAAAEAAEAEEA故20.EA10.求齐次线性方程组1234123412340,30,230.xxxxxxxxxxxx解空间的一组标准正交基.解（1）因系数矩阵111111011113001211230000，则原方程等价于124340,20.xxxxx分别令24,1,0,0,1xx得基础解系121,1,0,0,1,0,2,1TT;(2)将基础解系正交标准化：111,1,0,0,T2122111,1111,0,2,11,1,0,0,,2,1,222TTT，1111221,1,0,0,,0,0||222TT，2222111142,,2,1,,,.||221122222222TT12,为其解空间的一组标准正交基.11.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）2212121212(,)2345fxxxxxxxx是二次型；错误，二次型是二次齐次多项式；（2）A是3阶实对称矩阵，T123(,,)xxxX，则TXAX是二次型；正确，二次型与实对称方阵是一一对应的；（3）等价的矩阵有相同的秩，但相似的矩阵以及合同的矩阵未必有相同的秩；错误，相似、合同变换都是初等变换，初等变换不改变矩阵的秩；（4）相似或合同的矩阵必等价；正确，相似、合同变换都是初等变换，经初等变换的矩阵是等价的；（5）合同的矩阵未必相似，相似的矩阵也未必合同；第五章二次型172正确，T1,PAPPAPBB不能相互推得；（6）合同变换把实对称矩阵仍变为实对称矩阵；正确，这是合同不变性；（7）n阶方阵经相似变换未必能化为对角矩阵，而n阶实对称矩阵必能通过相似变换化为对角矩阵；正确（8）任一实对称矩阵必合同于对角矩阵，即任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形；正确（9）可逆线性变换不改变二次型的秩；正确，可逆矩阵不改变二次型矩阵的秩，即可逆线性变换不改变二次型的秩；（10）二次型通过不同的可逆线性变换化成的标准形是唯一的.错误，二次型通过不同的可逆线性变换化成的规范形是唯一的15.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）正交变换不改变向量的长度但会改变向量间的夹角；错误，正交变换不改变向量的内积，也就不会改变向量的长度、夹角；（2）对于任一实对称矩阵A，必存在正交矩阵P，使T1PAPPAPΛ，即实对称矩阵A既合同又相似于对角矩阵；正确，正交矩阵P满足1PTP满足；（3）任一n阶方阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关，而n阶实对称矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关且正交；正确，见有关定理；（4）若二次型TfXAX对于某一非零的n维向量X，有T0fXAX，则该二次型既不是正定也不是负定的.正确，正定（负定）要求对于任一非零的n维向量X，T()0XAXf；（5）一个二次型，若不正定则必负定；错误，除正定、负定外，还有半正定（T0XAX）、半负定（T0XAX）、不定等情形；（6）n元实二次型正定的充要条件是其负惯性指标等于0；错误，n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指标等于n，这与负惯性指标等于0的意义不同；（7）n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指标等于二次型的秩.错误，n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指标等于n，而二次型的矩阵不一定满秩；（8）n阶实对称矩阵A正定的充要条件是其n个特征值非负；错误，n阶实对称矩阵A正定的充要条件是其n个特征值大于零，而不是非负；（9）若0A，则A必不正定；正确，因为A正定，则0A，其逆否命题为：0A，则A必不正定；（10）若A主对角线上的元素不全为正，则A必不正定.正确，因A正定，其主对角线上的元素大于零；其逆否命题为：A主对角线上的元素不全为正，则A必不正定.18.把曲线22121261xxxx用正交变换化为标准曲线，并指出该曲线的类型.解1221212122136,31TxfxxxxxxXAXx，第五章二次型173（1）134231EA,特征值124,2；（2）对于特征值14，因331143300EA，解120.xx得基础解系T1(1,1)ξ；对于特征值22，因331123300EA，解120.xx得其基础解系T2(1,1)ξ；（3）12,正交，将其单位化.111122(1,1),||222TT，2221221,1,,||222得正交矩阵22222222Q.(4)即经过正交变换XQY，将二次型化为标准形221242yy，即把曲线22121261xxxx化为2212421yy，此为双曲线.19.三阶实对称矩阵A的特征值是1,1,1，特征值1对应的特征向量为T(0,1,1),求矩阵A及特征值1对应的特征向量.解设矩阵A的属于1的特征向量为T123(,,),xxx由于实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交，故有T1230.xx解此方程组得到的解向量TT23(1,0,0),(0,1,1)是矩阵A的属于1的线性无关的特征向量.由1122331,1,1AAA，得123123(,,)(,,)A，因123,,线性无关，知123(,,)可逆，得1123123(,,)(,,)A01001212100101100001.1010121201022.t取何值时，矩阵1121020tt是正定的？解讨论矩阵的各阶顺序主子式：12311211110,10,1050120tttttt，得5t.23.求t的取值范围，使二次型222123123121323(,,)44224fxxxxxxtxxxxxx为正定二次型.第五章二次型174解11231232311(,,)(,,)42124TtxfxxxxxxtxXAXx，讨论A的各阶顺序主子式：2123111110,40,4242104124ttttttt，得21t.24.设A是n阶正定矩阵，证明：（1）1A是正定矩阵；（2）若M是n阶可逆方阵，则TMAM也是正定矩阵.证（1）A正定，故A为实对称矩阵且||0A，因而1TT11()(),AAA即1A为实对称矩阵.设A的特征值为，则1A的特征值为1/.由A正定，A的特征值0,则1A的特征值1/0,故1A正定.（2）因A正定，故TAA，从而TTTMAMMAM,TMAM为实对称矩阵；因M可逆，作可逆线性变换,YMX则由XO时，有.YO于是由A正定，得到TTTT()()0.XMAMXMXAMXYAY故实二次型TTXMAMX正定，从而TMAM为正定矩阵.25.设()ijaA是n阶正定矩阵，证明0,1,2,,iiain.证A为正定矩阵，则对任意向量12(,,,),XOnxxx均有T0.XAX取T11,0,,0Xe，则有111212122211121111211001,0,,0,,,00nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa可见，分别取T0,,1,,0iXe,可得到0iia（1,2,,in）.