第二部分第3讲

数学第二部分应试技巧篇数学应用题是指用数学知识来解决的社会生活中有实际背景的问题，这类题目的立意、实际背景、创设的情境、设问的角度和方式新颖灵活，对考生的能力和数学素质有较高的要求，出于考查和素质的要求，数学应用题成为近几年高考的热点之一．常见的考查方式有：(1)与函数、导数、方程有关的应用题；(2)与不等式有关的应用题，常涉及到最优化等问题；(3)与数列有关的应用题，常涉及到增长率、利率等问题；(4)与三角形有关的问题；(5)概率统计应用题；(6)立体几何与解析几何应用题．第3讲应用性问题的解法数学第二部分应试技巧篇把实际问题抽象为数学问题来解决，把数学知识运用到生产、生活的实际中去，形成应用数学意识，是培养学生分析问题、解决问题的能力的需要．处理这一问题，通常分为四步：(1)读题：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄懂题中出现的量及数学含义，边读题边画出示意图，标出已知量和所求量；(2)建模：根据各个量的关系，进行数学化设计，即建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)求解：进行标准化设计，即转化为常规的数学问题加以解决；(4)评价：对结果进行评估或验证，对错误进行调节，或限制范围或舍去，最后写出结论或作答．数学第二部分应试技巧篇高考中的数学应用题，大多是以函数知识作为背景设计的．所涉及到的函数主要是一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数以及形如y＝ax＋的函数等．解答函数应用题，一般都是从建立函数表达式着手，将实际问题数学化，将文字或图形语言数学化，最终在其定义域内给出完整准确的解答．函数、导数、不等式的应用题数学第二部分应试技巧篇某生产饮料的拟企业投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝3x＋1x＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？数学第二部分应试技巧篇【独立解答】(1)由题意，每年销量为Q万件，共计成本为(32Q＋3)万元，销售收入为(32Q＋3)·150%＋x·50%，∴年利润y＝(年收入)－(年成本)－(年广告费)＝12(32Q＋3－x)＝1232×3x＋1x＋1＋3－x＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0)，数学第二部分应试技巧篇∴所求的函数关系式为y＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0)，当x＝100时，y＜0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)由y＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0)可得y′＝(－2x＋98)(x＋1)－(－x2＋98x＋35)2(x＋1)2＝－x2－2x＋632(x＋1)2令y′＝0，则x2＋2x－63＝0，∴x＝－9(舍去)或x＝7.数学第二部分应试技巧篇又x∈(0,7)时，f′(x)＞0；x∈(7，＋∞)时，f′(x)＜0，∴f(x)极大值＝f(7)＝42.又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．【方法探究】解决应用问题要细心审题，本题的关键是建立y与x之间的函数关系．常见的错误是：(1)分不清各个量之间的关系，导致列出错误的关系式；(2)找不到恰当的最优解求法，忽视在自变量的取值范围内求最优解才有意义．数学第二部分应试技巧篇1．水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点．根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)＝(－t2＋14t－40)e14t＋50(0t≤10)，4(t－10)(3t－41)＋50(10t≤12).(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期．以i－1ti表示第i月份(i＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e＝2.7计算)．数学第二部分应试技巧篇【解析】(1)①当0＜t≤10时，－t2＋14t－40＜0，t2－14t＋40＞0，∴t＜4或t＞10，又∵0＜t≤10，∴0＜t＜4.②当10＜t＜12时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50＜50，化简得(t－10)(3t－41)＜0，解得10＜t＜413，又10＜t≤12，故10＜t≤12.综上得0＜t＜4，或10＜t≤12，故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月，共5个月．数学第二部分应试技巧篇(2)由(1)知，V(t)的最大值在(4,10)内达到．由V′(t)＝e14t－14t2＋32t＋4＝－14e14t(t＋2)(t－8)．令V′(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去)．当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V′(t)＋0－V(t)极大值数学第二部分应试技巧篇由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2＋50＝108.32(亿立方米)．故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．【答案】(1)枯水期为1月，2月，3月，11月，12月，共5个月(2)一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米数学第二部分应试技巧篇在数学中，概率与统计无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点，在展现分类讨论思想、化归思想的同时，培养人们分析问题、解决问题的能力．本部分内容不论是思考方法还是解题方法都与其他内容有很大的不同，概念性强、抽象性强、灵活性强、思维方法新颖，具有一定的特殊性．概率统计应用题数学第二部分应试技巧篇(2010·辽宁沈阳质检)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)完成数据的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．数学第二部分应试技巧篇【独立解答】(1)数据的茎叶图如图所示．数学第二部分应试技巧篇(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本容量不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．【方法探究】本题考查统计图表的应用，解决这类问题时，首先要抓住统计图的特征与优点，其次要读懂统计图中表示的相关信息，最后利用这些图表信息解决问题．如本题可以根据数据的完整性解决问题(1)，再利用其优点解决问题(2)，最后由数据观察或计算可解决问题(3)．数学第二部分应试技巧篇2．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A．84,4.84B．84,1.6C．85,4D．85,1.6数学第二部分应试技巧篇【解析】由茎叶图可知评委打出的最低分为79，最高分为93，其余得分为84,84,86,84,87，故平均分为84×3＋86＋875＝85，方差为15[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.【答案】D数学第二部分应试技巧篇三角函数作为一种强有力的工具，在测量计算与角有关的问题中有着广泛的应用．引入角作为参数，构造三角形，借助正弦定理、余弦定理、三角函数、向量、不等式等知识，就可以方便地解决许多实际应用题．对于用角作为参数应注意其范围的限制，以防解题失误．与三角形有关的应用题数学第二部分应试技巧篇(2009·宁夏、海南)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．数学第二部分应试技巧篇【解析】作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298.DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝(BE－FC)2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22DE·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.数学第二部分应试技巧篇【方法探究】(1)应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：①分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；②根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；③将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；④检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．(2)常见应用类型：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．数学第二部分应试技巧篇3．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449)．数学第二部分应试技巧篇【答案】0.33km【解析】在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝ACsin60°sin15°≈0.33km，因此，BD≈0.33km.故B、D的距离约为0.33km.数学第二部分应试技巧篇数列应用题是以数列知识为背景的应用题，解答此类问题时，需由具体实际构建出数列模型，各量用数列的项、项数、通项、前n项和等来表达，最终求得结果．数列应用题数学第二部分应试技巧篇(12分)(2010·东北四校联考)假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底：(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085＝1.47,1.086＝1.59)数学第二部分应试技巧篇【标准解答】(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50.(2分)则Sn＝250n＋n(n－1)2×50＝25n2＋225n，令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0.(4分)又n∈N*，∴n≥10.∴到2018年底，中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(6分)数学第二部分应试技巧篇【方法规律】解决这一类问题的关键是如何把实际问题转化为数列问题，这要通过分析问题中的量及这些量之间的关系，尤其像“每年(月)比上一年(