阿波罗尼斯圆

《每周一讲》高中系列第七讲——————————————————————————————————————————————阿波罗尼斯圆一、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为cba,,，中线长分别为cbammm,,,则：222222222222221221221cbamcbambcamacb（二）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,yxPaBPAPaBaA2222yaxyax化简得：2222221211ayax轨迹为圆心aa12011222，半径为，的圆（三）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分AB和外分AB所得的两个分点；2、直线CM平分ACB，直线CN平分ACB的外角；3、BNANBMAM4、CNCM5、内在圆点内；在圆时，点OAOB,101；6、若ADAC,是切线，则CD与AO的交点即为B；7、若点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分EAF；三、补充说明1、关于性质1的证明定理：BA,为两已知点，QP,分别为线段AB的定比为1的内、外分点，则以PQ为直径的圆O上任意点到BA,两点的距离之比等于常数。证明：不妨设1《每周一讲》高中系列第七讲——————————————————————————————————————————————1,1,1,1,aBQaAQaBPaAPCDPQOBaAB，则垂直的弦的与直径作圆过点设由相交弦定理及勾股定理得：BCACaACaBCaaaBCABACaBQBPBC则于是,1,111122222222222222从而CQP,,同时在到BA,两点距离之比等于的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此圆O上任意点到BA,两点距离之比等于常数。2、关于性质6的补充若已知圆O及圆O外一点A，则可作出与点A对应的点B，只要过点A作圆O两条切线，切点分别为DC,，连结CD与AQ即交于点B。反之，可作出与点B对应的点A四、典型例题例1（教材例题）已知一曲线是与两个定点(0,0)O、(3,0)A距离的比为12的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。解：设点(,)Mxy是曲线上任意一点，则222212(3)xyxy，整理即得到该曲线的方程为：22(1)4xy。例2（2003北京春季文）设)0)(0,(),0,(ccBcA为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值)0(aa，求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为（x，y）由aycxycxaaPBPA2222)()()0(||||，得.化简得.0)1()1()1(2)1(2222222yaacxacxa当01)1(2,122222ycxaacxa得时，整理得222222)12()11(aacycaax.当a=1时，化简得x=0.所以当1a时，P点的轨迹是以)0,11(22caa为圆心，|12|2aac为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴.《每周一讲》高中系列第七讲——————————————————————————————————————————————例3（2005江苏高考数学）如图，圆1O与圆2O的半径都是1，421OO，过动点P分别作圆1O.圆2O的切线PM、PN（M.N分别为切点），使得PNPM2奎屯王新敞新疆试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程奎屯王新敞新疆解：以1O2O的中点O为原点，1O2O所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则1O（-2，0），2O（2，0），由已知PN2PM，得222PNPM奎屯王新敞新疆因为两圆的半径均为1，所以)1(212221POPO奎屯王新敞新疆设),(yxP，则]1)2[(21)2(2222yxyx，即33)6(22yx，所以所求轨迹方程为33)6(22yx奎屯王新敞新疆（或031222xyx）例4（2006四川高考理）已知两定点(2,0)A、(1,0)B，如果动点P满足2PAPB=，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）（A）p（B）4p（C）8p（D）9p解：B例5（2008江苏高考）BCACABABC2,2中，，则ABCS的最大值为________.答案：34变形：3:5:,4CBCAABABC中，，则ABCS的最大值为________.答案：215例6设点DCBA,,,依次在同一直线上，2,3,6CDBCAB，已知点P在直线AD外，满足CPDBPCAPB，试确定点P的几何位置。解：先作线段AC关于2:1的阿氏圆1，再作线段BD关于3:2的阿氏圆2，两圆交点即为点P，同时该点关于直线AD的对称点也为所求。长为3，例7（2011年南通一模）已知等腰三角形一腰上的中线则该三角形面积的最大值为__________.PO1O2MNPO1O2oMNyx《每周一讲》高中系列第七讲——————————————————————————————————————————————《每周一讲》高中系列第七讲——————————————————————————————————————————————例8（2013江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A，直线42:xyl．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围．解：（1）联立：421xyxy，得圆心为：C(3，2)．设切线为：3kxy，d＝11|233|2rkk，得：430kork．故所求切线为：3430xyory．（2）设点M(x，y)，由MOMA2，知：22222)3(yxyx，化简得：4)1(22yx，即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中22)32(aaCD．解之得：0≤a≤125．例9圆21,OO圆不等且外离，现有一点P，它对于1O圆所张的视角与对于2O圆所张的视角相等，试确定点P的几何位置答案：做圆21,OO圆的内、外公切线，分别交连心线21OO于点BA,，以线段AB为直径的圆，就是线段21OO关于21:rr的阿氏圆，该圆上任意一点都符合要求。xyAlO《每周一讲》高中系列第七讲——————————————————————————————————————————————例10在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B，使得圆224xy上任意一点到A、B两点的距离之比为常数12？如果存在，求出点A、B坐标；如果不存在，请说明理由。解：假设在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B，使得圆224xy上任意一点到A、B两点的距离之比为常数12，设(,)Pxy、1(,0)Ax、2(,0)Bx，其中210xx。即221222()12()xxyxxy对满足224xy的任何实数对(,)xy恒成立，整理得：222212212(4)43()xxxxxxy，将224xy代入得：2212212(4)412xxxxx，这个式子对任意[2,2]x恒成立，所以一定有：12222140412xxxx，因为210xx，所以解得：11x、24x。所以，在x轴正半轴上是否存在两个定点(1,0)A、(4,0)B，使得圆224xy上任意一点到A、B两点的距离之比为常数12。例11铁路线上线段100ABkm，工厂C到铁路的距离20CAkm。现要在A、B之间某一点D处，向C修一条公路。已知每吨货物运输1km的铁路费用与公路费用之比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少，点D应选在何处？解：建立如图所示直角坐标系，先求到定点A、C的距离之比为35的动点(,)Pxy的轨迹方程，即：222235(20)xyxy，整理即得动点(,)Pxy的轨迹方程：2244909000xyy，令0y，得15x（舍去正值）即得点(15,0)D15,25DADC。下面证明此点D即为所求点：自点B作CD延长线的垂线，垂足为E，在线段BA上任取点1D，连接1CD，再作11DEBE于1E。设每吨货物运输1km的铁路费用为3(0)kk，则每吨货物运输1km的公路费用为5k，如果选址在1D处，那么总运输费用为111135(35)ykBDkDCBDDCk，而11BED∽BED∽CAD∴111255153BDCDEDAD∴11135BDED那么总费用11111(35)()5()55yBDDCkEDDCkCDDEkkCE，D1E1EDyXCAB《每周一讲》高中系列第七讲——————————————————————————————————————————————当且仅当点C、1D、1E共线时取等号总上所述，点D即为所求点例12已知点4,3P，点BA,分别为圆44422yx及直线0103yx上一点，则APAB2的最小值为_________.答案：7例13ABC中，3BC,AAD为的角平分线，且满足ACABAD3132，则ABCS的最大值为____________.答案：3