5回溯算法

第5章回溯法有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。本章主要知识点：•5.1回朔法的算法框架•5.2装载问题•5.3批处理作业调度•5.4符号三角形问题•5.5n后问题•5.60-1背包问题•5.7最大团问题•5.8图的m着色问题•5.9旅行售货员问题•5.10圆排列问题•5.11电路板排列问题•5.12连续邮资问题•5.13回朔法效率分析5.1回朔法的算法框架5.1.1问题的解空间问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。显约束：对分量xi的取值限定。隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。对于n=3的0-1背包问题，其解空间是一个深度为4的满二叉数。当w={16，15，15}，p={45，25，25}，c=30时，0-1背包问题的解向量是：（0，1，1）5.1.2回朔法的基本思想扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点。活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点。死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点。深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）。宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点。回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(boundingfunction)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。常用剪枝函数：用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；用限界函数剪去得不到最优解的子树。用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间。例如:对于n=3的0-1背包问题，当w={16，15，15}，p={45，25，25}，c=30时，该0-1背包问题的最优解向量是x=（0，1，1）。其解空间是一个深度为4的满二叉数。各叶子所代表的解向量是结点H：x=（1，1，1）结点I：x=（1，1，0）结点J：x=（1，0，1）结点K：x=（1，0，0）结点L：x=（0，1，1）结点M：x=（0，1，0）结点N：x=（0，0，1）结点O：x=（0，0，0）当扩展结点是E时，活结点有A,B,E;死结点有D,H,I。当扩展结点是F时，活结点有A,C,F;死结点有B,D,H,I,E,J,K。例如:对于带权图G，在图G中求费用最小的周游路线，其解空间是如右图所示的树。它的每个叶子代表了一个解向量。含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。由于是完全图，所以从指定的顶点出发的不同周游路线有(n-1)!条。回溯法就是在解空间数上一个一个地搜索出每一个解向量，并在一定的意义下，从这些解向量中通过计算，求出最优解向量。对于特定的问题，其解空间树往往特别大，包含的叶子非常多，因此，剪枝函数对回溯算法的优化非常重要。5.1.3递归回朔回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。voidbacktrack(intt)//对于第t层的一个扩展结点{if(tn)output(x);//到达一个叶子，输出该叶子所表示的解向量else//没有到达一个叶子for(inti=f(n,t);i=g(n,t);i++){//对于当前扩展结点的第i个孩子x[t]=h(i);//求该孩子所表示的部分解向量if(constraint(t)&&bound(t))//如果该孩子满足剪枝函数backtrack(t+1);//生成该孩子，并将其作为新的当前结点}}5.1.4迭代回朔采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递归迭代过程。voiditerativeBacktrack(){intt=1;//对于第t层的一个扩展结点while(t0)//当该扩展结点存在时{if(f(n,t)=g(n,t))//如果扩展结点有孩子for(inti=f(n,t);i=g(n,t);i++)//考察其第i个孩子{x[t]=h(i);//求该孩子所表示的部分解向量if(constraint(t)&&bound(t))//如果该孩子满足剪枝函数{if(solution(t))output(x);//如果扩展结点可解，则求解elset++;//否则，进入下一层}}elset--;//回溯}}5.1.5子集树和排列树遍历子集树需O(2n)计算时间遍历排列树需要O(n!)计算时间voidbacktrack(intt){if(tn)output(x);elsefor(inti=0;i=1;i++){x[t]=i;if(legal(t))backtrack(t+1);}}voidbacktrack(intt){if(tn)output(x);elsefor(inti=t;i=n;i++){swap(x[t],x[i]);if(legal(t))backtrack(t+1);swap(x[t],x[i]);}}5.2装载问题1.问题描述有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且211ccwnii装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。容易证明，如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。(1)首先将第一艘轮船尽可能装满；(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱重量和最接近。于是，装载问题等价于以下特殊的0-1背包问题。nixcxwxwiniiiniii1},1,0{s.t.max111用回溯法设计解装载问题的O(2n)计算时间算法。在某些情况下该算法优于动态规划算法。publicclassLoading{staticintn;//集装箱个数staticint[]w;//各个集装箱的重量staticintc;//第1艘船的载重量staticintcw;//当前扩展结点表示的装上船的集装箱重量总和staticintbestw;//当前所求到的所有解中的最优值publicstaticintmaxLoading(int[]ww,intcc){n=ww.length-1;//初始化w=ww;c=cc;cw=0;bestw=0;backtrack(1);//从第1个集装箱开始考虑returnbestw;//返回最优值}2.算法设计cw始终是当前扩展结点的所表示的上第一艘船的集装箱的重量和本算法所求的bestw是上第一艘船的集装箱的重量和的最优值privatestaticvoidbacktrack(inti)//对于第i个集装箱{if(in)//如果到达叶子{if(cwbestw)//如果该叶子代表的解优于当前最优解bestw=cw;//把该叶子代表的解作为当前最优解return;}if(cw+w[i]=c)//如果第i个集装箱可以上船{cw+=w[i];backtrack(i+1);//则生成扩展结点的左孩子cw-=w[i];//子树搜索完毕，回溯}backtrack(i+1);//否则生成扩展结点的右孩子}}publicclassLoading{staticintn;//集装箱个数staticint[]w;//各个集装箱的重量staticintc;//第1艘船的载重量staticintcw;//当前扩展结点表示的装上船的集装箱重量总和staticintbestw;//当前所求到的所有解中的最优值staticintr;//r是当前码头上剩余集装箱重量和publicstaticintmaxLoading(int[]ww,intcc){n=ww.length-1;//初始化w=ww;c=cc;cw=0;bestw=0;for(inti=1;i=n;i++)//计算当前还没有考虑的集装箱的重量和r+=w[i];backtrack(1);//从第1个集装箱开始考虑returnbestw;//返回最优值}3.上界函数privatestaticvoidbacktrack(inti){if(in)//如果到达叶子{if(cwbestw)//如果该叶子代表的解优于当前最优解bestw=cw;//把该叶子代表的解作为当前最优解return;}r=-w[i];//第i个集装箱已经被考虑if(cw+w[i]=c)//如果第i个集装箱可以上船{cw+=w[i];backtrack(i+1);//则生成扩展结点的左孩子cw-=w[i];//子树搜索完毕，回溯}if(cw+rbestw)//如果扩展结点的右子树中可能有更优的解backtrack(i+1);//则生成扩展结点的右孩子r+=w[i];//修复r}}publicclassLoading{staticintn;staticint[]w;staticintc;staticintcw;staticintbestw;staticintr;staticint[]x;staticint[]bestx;publicstaticintmaxLoading(int[]ww,intcc,int[]xx){n=ww.length-1;w=ww;c=cc;cw=0;bestw=0;x=newint[n+1];bestx=xx;for(inti=1;i=n;i++)r+=w[i];backtrack(1);returnbestw;}4.构造最优解privatestaticvoidbacktrack(inti){if(in){if(cwbestw)for(intj=1;j=n;j++)bestx[j]=x[j];bestw=cw;return;}r=-w[i];if(cw+w[i]=c){x[i]=1;cw+=w[i];backtrack(i+1);cw-=w[i];}if(cw+rbestw){x[i]=0;backtrack(i+1);}r+=w[i];}}publicstaticintmaxLoading(int[]w,intc,int[]bestx){inti=1;n=ww.length-1;int[]x=newint[n+1];intbestx=0;intcw=0;intr=0;for(intj=1;j=n;j++)r+=w[j];while(1){while(i=n&&cw+w[i]=c){r-=w[i];cw+=w[i];x[i]=1;i++;}5.迭代回溯if(in){for(intj=1;j=n;j++)bestx[j]=x[j];bestw=cw;}else{r=-w[i];x[i]=0;i++;}while(cw+r=bestw){i--;