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复习回顾:我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征:都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.·MFl0<e<1(2)当e>1时,是双曲线;(1)当0e1时,是椭圆;(其中定点不在定直线上)e>1那么,当e=1时,它又是什么曲线?F·MlC问题探究:当e=1时,即|MF|=|MH|,点M的轨迹是什么?探究?可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)我们把这样的一条曲线叫做抛物线.M·Fl·e=1H几何画板观察球在空中运动的轨迹是抛物线规律,那么抛物线它有怎样的几何特征呢?二次函数2(0)yaxbxca又到底是一条怎样的抛物线?2.4.1抛物线及其标准方程CM·Fl·e=1H在平面内,与一个定点F和一条定直线l(不在直线上)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线d为M到l的距离准线焦点d一、抛物线的定义:即:若1MFd,则点M的轨迹是抛物线.想一想:比较椭圆、双曲线的标准方程的建立过程,如何建立坐标系,才能使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样?CM·Fl·e=1H二、标准方程的推导思考:抛物线是轴对称图形吗?怎样建立坐标系,才能使焦点坐标和准线方程更简捷?xy0xy0xy01.建系2.设点3.列式4.化简l解:以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.22()||22ppxyx两边平方,整理得xKyoM(x,y)F设(,)Mxy,依题意得22(0)ypxp5.检验这就是所求的轨迹方程.FKp,则焦点(,0)2pF,准线:2plxy如图,若以准线所在直线为y轴,则焦点F(P,0),准线L:x=0由抛物线的定义,可导出抛物线方程为y2=2p(x-)(p>0)p2三、标准方程把方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.且p的几何意义是:右焦点是:(,,0)2p2px左准线方程为:一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同,所以抛物线的标准方程有四种形式.lxKyoM(x,y)F焦点到准线的距离yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒图形焦点准线标准方程第一:一次项的变量为x(或y),则x轴(或y轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.不容易错的最好方法是看看x(或y)的取值范围即:焦点与一次项变量相同;正负决定开口方向!例11)抛物线的标准方程是y2=6x,求焦点和准线方程;2)抛物线的方程是y=-6x2,求焦点坐标和准线方程;3)抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程。解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x=-8y232解:因为p=3,故焦点坐标为(-,0)32准线方程为x=--.解:方程可化为:故焦点坐标为,准线方程为,612yx)241,0(.241y焦点坐标准线方程(1)(2)(3)(4)(5,0)x=-5(0,—)18y=-—188x=—5(-—,0)58(0,-2)y=2练习1求下列抛物线的焦点和准线方程(1)y2=20x(2)y=2x2(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=0注意:求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式练习2抛物线的顶点是坐标原点,根据下列条件,分别写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3,0);(2)准线方程是x=;41(3)焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y反思:已知抛物线的标准方程求其焦点和准线方程先定位,后定量.AOyx解:(1)当焦点在y轴正半轴上时,把A(-3,2)代入x2=2py,得p=94(2)当焦点在x轴负半轴上时,把A(-3,2)代入y2=-2px,得p=23∴抛物线标准方程为x2=y或y2=x。9243练习3抛物线经过点P(4,-2),求抛物线的标准方程。提示:注意到P为第四象限的点,所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py例2.求顶点是坐标原点,且过A(-3,2)的抛物线的标准方程.4a1∴焦点坐标是(,0),准线方程是:x=4a1例3已知抛物线方程为x=ay2(a≠0),讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程?解:抛物线的方程化为:y2=x1a即2p=1a②当a0时,,抛物线的开口向左p2=14a∴焦点坐标是(,0),准线方程是:x=4a114a①当a0时,,抛物线的开口向右p2=14a思考:M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,若点M的横坐标为x0,则x0+—2pOyxFM这就是抛物线的焦半径公式!yxoFMyxoFMyxoFM0x2pMFMF2px2px2py0y2pMF2py0y2pMFx0–(–—)2pMF例4抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的横坐标为3的点M到焦点的距离等于6,求抛物线的标准方程.y2=2px(p0)由抛物线的定义知3-(-)=6,即p=6.2p数形结合,用定义转化条件,解:因为是焦点在x轴上且过M点的抛物线,所以设标准方程为所求抛物线标准方程为y2=12x变式:抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于6,求抛物线的标准方程.OyxFM2pxx0–(–—)2pMF过抛物线的焦点F作x轴的垂线交抛物线与A、B两点,且。22ymx6AB34页作业9(1,2)F:25lxy变式2平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆变式3点M与点F(2,0)的距离比它到直线l:x+4=0的距离小2,求点M的轨迹方程?(1,0)F:1lx例5平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆(1,2)F:1lx变式1平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆OyxFM35页作业11第2课时准线方程焦点坐标标准方程焦点位置图形不同位置的抛物线x轴的正方向x轴的负方向y轴的正方向y轴的负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py)0,2(pF)0,2pF(-)2,0(pF)2,0(pF-2=px-2=px2=py2=py-yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒OyxFMyxoFMyxoFMyxoFM0x2pMF2px2px2py0y2pMF2py0y2pMFx0–(–—)2pMF抛物线的焦半径公式00(,)xy00(,)xy00(,)xy00(,)xy例1抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的横坐标为-3的点M到焦点的距离等于5,求抛物线的标准方程.y2=-8x变式1:抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的标准方程,并求m的值.OyxFM2px—–x02pMF变式2:在抛物线y2=-8x上,到焦点的距离等于5的点的坐标.35页作业1023抛物线y=4x上的一个动点P,F为抛物线的焦点。(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值。(2)若B(3,2),求PBPF的例最小值。210311..2..82lABCD1212定点M(3,)与抛物线y=2x上的点P的距离为d,P到抛物线准线的距离为d,则d+d取最小值时,P点为()(0,0)(1,)练(2,2)(,-习1)36页作业8(改)22:121lxxyMl直线及圆C:,动圆与相切,且与圆C外切,求动圆圆心M的轨迹方程。35页作业5(改)28.yxABy抛物线上两点,到焦点的距离之和为10,求线段AB的中点到轴的距离240.FyxABCFAFBFCFAFBFC设为抛物线的焦点,,,为该抛物线上的三点例若求,,的值437页作业7(改)24,,3.yxlxAAKlKAKF抛物线的焦点为F准线为经过焦点F且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交与点,作,垂足为,求的面积22(0),OypxpAFAxOA为坐标原点,F为抛物线的焦点是抛物线上的一点,与轴正向的夹角是60,求.练习后备练习.已知抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上一点,则|PA|+|PF|的最小值是()(A)16(B)6(C)12(D)9D第3课时直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离:2、相切:3、相交:(一个交点,两个交点)(一个交点)(没有交点)(0,1)2,yxll抛物线直线过点(0,1),且与抛物线只有一个公共点,求直线的方程。k联立21ykxyx222(21)1010或kxkxkyy11014或或yxyx判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行直线与抛物线相交(一个交点)平行计算判别式0=00相交相切相离(0,1)k练习1抛物线:24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?练习1抛物线:24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?224.yxyx求抛物线上到直线的距离最练2短的点习K=1/2K=0K=-1若直线l与抛物线有公共点,l在y轴上截距的最小值?变式1:已知实数x,y满足方程y2=4x,求函数的最值12yzxmaxmin1,12kk变式3:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.min1z无最大值变式2:点(x,y)在椭圆x2/4+y2=1上运动,求点(0,-2)与椭圆上任一点连线的斜率k的范围.第4课时例1斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B,求线段AB的长。xy42yxo2222y1222y1yx22(42)(42)∴|AB|==8方法(1)解:如图:由抛物线的标准方程可知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),所以直线AB的方程为322222322222即A,B的坐标分别为:(,)(,)1322x2322x解得,2610xx得24yx①1yx②由代入方程①问题(1)试问还有其他方法或更简捷一点的解法么?2212(1)()kxx方法(2)(弦长公式)|AB|=212122()4xxxx8yxo方法(3)由抛物线定义|AB|=|AF|+|BF|问题(1)试问还有其他方法或更简捷一点的解法么?=|AA´|+|BB´|==812[(1)][(1)]xx2610xx2,1,2pp.1:xl准线A´B´方法(4)焦半径公式例1斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B,求线段AB的长。xy42|PF|=x0+p/2FP抛物线的焦半径公式:),(00yxFP),(00yxFP),(00yxFP),(00yx|PF|=-x0+p/2|PF|=y0+p/2|PF|=-y0+p/2.,,),,(),,(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设12,2,2ABpAFdxpBFdx由抛物线的定义可知12所以ABAFBFxxpxyOFABB’A’8方法(4)焦半径公式例1斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B,求线段AB的长。xy42§抛物线的焦点弦问题(2)从方法(4)中你能得到什么结论?过抛物线y²=2px(p0)的焦点的直线交抛物线于A,B两点则|AB|=问题(3)能否把例(2)推广到一般性的命题呢?斜率为k的直线经过抛物线(p0)的焦点,与抛物线相交于A,B,求
本文标题:抛物线及其标准方程
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