抛物线性质

抛物线的简单几何性质（一）M是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，若点M的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是x0+—2pOyx．FM．焦半径及焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离P(x0，y0)在y2=2px上，P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,20pxPF02xpPF20pyPF02ypPF－1、抛物线的范围:y2=2pxy取全体实数xyX0抛物线的几何性质：2、抛物线的对称性y2=2px关于x轴对称没有对称中心，因此，抛物线又叫做无心圆锥曲线。而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线XY定义：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点只有一个顶点XY3、抛物线的顶点y2=2px所有的抛物线的离心率都是1XY4、抛物线的离心率y2=2px基本点：顶点，焦点基本线：准线，对称轴基本量：焦准距p（决定抛物线开口大小）XY5、抛物线的基本元素y2=2px例1：已知抛物线y2=2x(1)设点A的坐标为(，0)，求曲线上与点A距离最近的点P的坐标及相应的|PA|的值；32(2)若䘊题中A(2,0)，则结果如何？例2：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.6、焦点弦和通径通径是焦点弦中最短的弦，通径|AB|=2p设AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),过A,B,M分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则yFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M1A(x1,y1)(1)|AB|＝x1+x2+p(2)x1x2=,y1y2=-p242pPBFAF2||1||1)3(XyFOB(x2,y2)MA1B1M1y2=2px(p0)三点共线三点共线11,,,,,)4(AOBBOAyFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M1(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切y2=2px(p0)∠AM1B=Rt∠,∠A1FB1=Rt∠N练习1：已知抛物线方程为y2=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k.则k为何值时，直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点呢。提出问题过抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点的纵坐标为，求证：.（焦点弦的其中一条性质）pxy2221,yy221pyy探究1过焦点的直线具有上述性质，反之，若直线AB与抛物线的两个交点A，B的纵坐标为，且，那么直线AB是否经过焦点F呢？pxy2221,yy221pyy探究2既然过抛物线焦点的直线与其相交，交点的纵坐标的乘积是一个定值，那么过抛物线对称轴上其他任意一定点，是否也有这个性质呢?探究3设抛物线上两动点，且满足，问AB是否恒过某一定点？pxy22),(),,(2211yxByxA)(21为常数kkyypxy22探究4设抛物线上两动点，且满足，求AB中点P的轨迹方程.),(),,(2211yxByxA)(21为常数kkyypxy22探究5设抛物线上两动点，O为坐标原点，OA⊥OB，则直线AB是否过定点？求AB中点P的轨迹方程.),(),,(2211yxByxApxy22探究6设抛物线上两动点，M为该抛物线上一定点，且MA⊥MB，则直线AB是否过定点？),(),,(2211yxByxA探究7若M为抛物线上一个定点，A、B是抛物线上的两个动点，且(r为非零常数)，求证：直线AB过定点。22(0)ypxpMAMBkkr将“探究6”的“直线MA与直线MB的倾斜角之差为900”变为“直线MA与直线MB的倾斜角之和为900”，即，r=1,直线AB过定点.MAMBMAMBkkr将“探究6”的“直线MA与直线MB的倾斜角之差为900”变为“直线MA与直线MB的倾斜角之和为1800”，直线AB不过定点，但可得到：MAMB探究8若M为抛物线上一个定点，A、B是抛物线上的两个动点，且直线MA与直线MB的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值。22(0)ypxp设计意图：培养学生研究数学问题的一般思想方法，一是考虑原命题的逆命题是否成立；二是考虑能否把原命题进行一般推广；三是考虑从原命题条件中还能推出什么结论？四是考虑把原命题进行适当变式进行拓展。问题(2004年北京卷理)过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于.当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率为非零常数.)0(22ppxy)0)(,(000yyxP),(),,(2211yxByxA021yyy变式1过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，若直线AB的斜率为定值，证明直线PA与PB的倾斜角互补.)0(22ppxy)0)(,(000yyxP),(),,(2211yxByxA0yp设动直线AB：y=-x+b与抛物线相交于两点，问在直线MN：x=2上能否找到一定点P（坐标与b的值无关），使得直线PA与PB的倾斜角互补？变式2),(),,(2211yxByxAxy82变式3如图，抛物线，过点P(1,0)作斜率为k的直线l交抛物线于A、B两点，A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点，当k变化时，探究点Q是否为定点？)0(22ppxy练习1：如图，定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，设线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离。练习2：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上，求这个三角形的边长。变式：已知在抛物线y=x2上三个点A、B、C组成一个等腰直角三角形，且顶点B是直角顶点，(1)设直线BC的斜率为k，求顶点B的坐标；(2)求等腰直角三角形的面积的最小值。抛物线的对称性问题例.已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，且点A（-1，0）和B（0，8）关于直线的对称点都在抛物线上，求直线和抛物线的方程。