高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程

第1页共7页1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．第2页共7页(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcosθ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsinθ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．第3页共7页若极点在原点且极轴为x轴的正半轴，则平面内任意一点M的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x，y)的公式如下：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或者ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即x＝f（t），y＝g（t），并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线：x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论：①设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则|AB|＝|tB－tA|＝（tB＋tA）2－4tA·tB；②线段AB的中点所对应的参数值等于tA＋tB2.(2)中心在P(x0，y0)，半径等于r的圆：x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数)(3)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)或x＝bcosθ，y＝asinθ.第4页共7页中心在点P(x0，y0)，焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为x＝x0＋acosα，y＝y0＋bsinα(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线：x＝asecθ，y＝btanθ(θ为参数)或x＝btanθ，y＝asecθ.(5)顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上的抛物线：x＝2p，y＝2p(t为参数，p0)．注：secθ＝1cosθ.3．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制．1．已知点A的极坐标为4，5π3，则点A的直角坐标是(2，－23)．2．把点P的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4．4．以极坐标系中的点1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cosθ－π6．5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)的右顶点，则常数a的值为3．解析：由直线l：x＝t，y＝t－a，得y＝x－a.由椭圆C：x＝3cosθ，y＝2sinθ，得x29＝y24＝1.所以椭圆C的右顶点为(3，0)．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0＝3－a，即a＝3.第5页共7页一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是(C)A.1，－π3B.2，4π3C.2，－π3D.2，－4π32．若圆的方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，直线的方程为x＝t＋1，y＝t－1(t为参数)，则直线与圆的位置关系是(B)A．相离B．相交C．相切D．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(D)A.14B．214C.2D．22解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x－y－4＝0，x2＋y2＝4x，所以圆心C(2，0)，半径r＝2，圆心(2，0)到直线l的距离d＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为22.4．已知动直线l平分圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则直线l与圆O：x＝3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)的位置关系是(A)A．相交B．相切C．相离D．过圆心解析：动直线l平分圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l上，又圆O：x＝3cosθ，y＝3sinθ的普通方程为x2＋y2＝9且22＋129，故点(2，1)在圆O内，则直线l与圆O的位置关系是相交．第6页共7页二、填空题5．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是y＝sinθ－2，x＝cosθ(θ是参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy中，y＝sinθ－2，x＝cosθ(θ是参数)，∴y＋2＝sinθ，x＝cosθ.根据sin2θ＋cos2θ＝1，可得x2＋(y＋2)2＝1，即x2＋y2＋4y＋3＝0.∴曲线C的极坐标方程为ρ2＋4ρsinθ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C的参数方程为x＝2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sinθ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sinθ＋π4⇒ρsinθ＋ρcosθ＝1⇒x＋y＝1，故d＝|0＋0－1|12＋12＝22.8．极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcosθ－3＝0上的动点，B为直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C1的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(cosθ－2sinθ)＝6.(1)求曲线C2和直线l的普通方程；(2)P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的距离的最值．第7页共7页解析：(1)由题意可得C2的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，即C2：x24＋y23＝1，直线l：ρ(cosθ－2sinθ)＝6化为直角坐标方程为x－2y－6＝0.(2)设点P(2cosθ，3sinθ)，由点到直线的距离公式得点P到直线l的距离为d＝|2cosθ－23sinθ－6|5＝6＋432sinθ－12cosθ5＝6＋4sinθ－π65＝556＋4sinθ－π6.所以255≤d≤25，故点P到直线l的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋4cosθ，y＝2＋4sinθ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程．(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C的参数方程x＝1＋4cosθ，y＝2＋4sinθ(θ为参数)，得普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝16，即x2＋y2－2x－4y＝11＝0.直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为x＝3＋12t，y＝5＋32t(t是参数)．(2)将直线的参数方程代入x2＋y2－2x－4y－11＝0，整理，得t2＋(2＋33)t－3＝0，设方程的两根分别为t1，t2，则t1t2＝－3，因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.