江苏省2016年专转本高等数学试卷及解答

绝密★启用前江苏省2016年普通高校专转本选拔考试高等数学试题卷注意事项：1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟．2．必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置．3．考试结束时，须将试题卷和答题卷一并交回．一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号与黑）1．函数()fx在0xx=处有定义是极限0lim()xxfx→存在的（D）．A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．无关条件2．设()sinfxx=，当0x+→时，下列函数中是()fx的高阶无穷小的是（C）．A．tanxB．11x−−C．21sinxxD．e1x−解00tanlimlim1sinxxxxxx++→→==，001()1112limlimsin2xxxxxx++→→−−−==−，2001sin1limlimsin0sinxxxxxxx++→→==，答案：C．3．设函数()fx的导函数为sinx，则()fx的一个原函数是（B）．A．sinxB．sinx−C．cosxD．cosx−解()sinfxx′=，1()sindcosfxxxxC==−+∫，()fx的原函数112(cos)dsinxCxxCxC−+=−++∫，可见()fx的一个原函数是sinx−（取120CC==），答案：B．4．二阶常系数非齐次线性微分方程22exyyyx−′′′−−=的特解*y的正确假设形式为(D)．A．exAx−B．2exAx−C．()exAxB−+D．()exxAxB−+解由220rr−−=得1212rr=−=，，可见1λ=−是特征单根，因而可设特解*()exyxAxB−=+，答案：D．5．函数2()zxy=−，则10dxyz===，（B）．A．2d2dxy+B．2d2dxy−C．2d2dxy−+D．2d2dxy−−解2()zxyx∂=−∂，2()zxyy∂=−−∂，ddd2()(dd)zzzxyxyxyxy∂∂=+=−−∂∂，10d2d2dxyzxy===−，，答案：B．6．幂级数212nnnxn∞=∑的收敛域为（A）．A．11[]22−，B．11[)22−，C．11(]22−，D．11()22−，解1222222(1)limlim22(1)nnnnnnnn+→∞→∞+==+，收敛半径12R=，当12x=−时，级数21(1)nnn∞=−∑收敛；当12x=时，级数211nn∞=∑收敛，因而收敛域为11[]22−，，答案：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．极限10lim(12)xxx→−=▲．2e−解12220lim{[1(2)]}exxx−−−→+−=．8．已知向量(102)a=，，，(432)b=−−，，，则(2)(2)abab−⋅+=▲．－48解2(236)ab−=−，，，2(962)ab+=−−，，，(2)(2)48abab−⋅+=−．9．函数()exfxx=的n阶导数()()nfx=▲．()exxn+解()ee(1)exxxfxxx′=+=+，()e(1)e(2)exxxfxxx′′=++=+，…，()()()enxfxnx=+．10．函数211()sin2xfxxx+=，则()fx的图像的水平渐近线方程为▲．12y=解2211111lim()limsinlim222xxxxxfxxxxx→∞→∞→∞++==⋅=，所以水平渐近线方程为12y=．11．函数2()lndxxFxtt=∫，则()Fx′=▲．2ln2lnx+解()ln22ln2ln22lnln2ln2lnFxxxxxx′=⋅−=+−=+．12．无穷级数11(1)2nnn∞=+−∑▲．（请填写收敛或发散）发散．．解因为级数112nn∞=∑发散，1(1)2nnn∞=−∑收敛，所以无穷级数11(1)2nnn∞=+−∑发散．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13．求极限201coslim()sinxxxxx→−．解2230001coscossincossinlim()limlimsinsinxxxxxxxxxxxxxxxx→→→−−−==222001(2)1cos222limlim333xxxxxx→→−===．14．设函数()yyx=由方程exyxy=+所确定，求ddyx．解dde()1ddxyyyyxxx+=+，d1e=de1xyxyyyxx−−．15．计算定积分511d1+1xx−∫．解511d1+1xx−∫1xt−=22200021d2(1)d2(ln(1))2(2ln3)1+1ttxtttt=−=−+=−+∫∫．16．求不定积分2lnd(1)xxx+∫．解2ln1ln1dlnddln(1)111xxxxxxxxx=−=−+++++∫∫∫ln11d11xxxxx=−+⋅++∫ln11lnln()dlnln(1)ln11111xxxxxxxCCxxxxxx=−+−=−+−++=−+++++++∫．17．求微分方程22sinxyxyx′+=满足条件()0yπ=的解．解原方程可化为22sinxyyxx′+=，于是有2()pxx=，2sin()xqxx=，则方程的通解为22dd()d()d2sine(()ed)e(ed)xxpxxpxxxxxyqxxCxCx−−∫∫∫∫=+=+∫∫2211(sind)(cos)xxCxCxx=+=−+∫，由()0yπ=得1C=−，因而所求解为2cos1xyx+=−．8．求由直线1l：111131xyz−−−==和直线2l：11213xtytzt=+=+=+所确定的平面方程．解依题意所求平面经过点(111)，，，法向量13172123ijknijk==−−，因而所求平面方程为7(1)2(1)(1)0xyz−−−−−=，即7240xyz−−−=．19．设22()zfxyyx=−−，，其中函数f具有二阶连续偏导数，求2∂∂∂zxy．解设2uxy=−，2vyx=−，则()zfuv=，，于是有122zfufvxffxuxvx∂∂∂∂∂′′=+=−∂∂∂∂∂，211222ffffzuvuvxxyuyvyuyvy′′′′∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+−+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂111221221112222(2)(2)2(41))2xfyffyfxfxyfyf′′′′′′′′′′′′′′=−+−−+=−++−．20．计算二重积分ddDxxy∫∫，其中D是由直线2yx=+，x轴及曲线24=−yx所围成的平面闭区域．解224242202021ddddd2yyyyDxxyyxxxy−−−−==∫∫∫∫∫222220014[(4)(2)]d(2)d23yyyyyy=−−−=−=∫∫．或4cos4cos324400001ddd(cos2)d(cos)d3Dxxyrrrrrππθθθθθθ=−=⋅−∫∫∫∫∫424244006416(cos16cos)d(4cos3cos)d33ππθθθθθθ=−=−∫∫24400163161cos43[(1cos2)(1cos2)]d[(1+2cos2+)(1cos2)]d32322ππθθθθθθθ+=+−+=−+∫∫440088114(cos2+cos4)d(sin2sin4)33243ππθθθθθ==+=∫．uxfvy2yx=+xyO24yx=−222−四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．证明：函数()||fxx=在0x=连续但不可导．解由00lim()lim||0(0)xxfxxf→→===，因而函数()||fxx=在0x=连续。因为000()(0)||(0)limlimlim1xxxfxfxxfxxx−−−−→→→−−′====−，++++000()(0)||(0)limlimlim1xxxfxfxxfxxx→→→−′====，所以函数()||fxx=在0x=不可导．22．证明：当12x≥−时，不等式32213xx+≥成立．解设32()213fxxx=+−，2()666(1)fxxxxx′=−=−，令()0fx′=得1201xx==，，因为(0)1f=，(1)0f=，1()02f−=，而32++lim()lim(213)xxfxxx→∞→∞=+−=+∞，所以当12x≥−时，函数()fx有最小值1()(1)02ff−==，因而，当12x≥−时，有()0fx≥，即有32213xx+≥．五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23．平面区域D由曲线222xyy+=，yx=及y轴所围成．（1）求平面区域D的面积；（2）求平面区域D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积．解（1）平面图形面积131220021(11)d()4343Axxxxxππ=−+−=+−=+∫；（2）旋转体的体积11222200[(11)]d(221)dxVxxxxxxxππ=−+−=+−−−∫∫12320117[(2)]32262xxxππππ=−−+=+．24．设函数()fx满足等式2211()2()dfxfxxx=+∫．（1）求()fx的表达式；（2）确定反常积分1()dfxx+∞∫的敛散性．解（1）设21()dafxx=∫，则21()2fxax=+，于是2222111111()d(2)d(2)22afxxaxaxaxx==+=−+=+∫∫，解得12a=−．因而21()1fxx=−．（2）2111()d(1)dfxxxx+∞+∞=−∫∫，由于2211111dlimdlim(1)1bbbxxxxb+∞→+∞→+∞==−=∫∫收敛，而11dlimdlim(1)cccxxc+∞→+∞→+∞==−=+∞∫∫发散．因而1()dfxx+∞∫发散．Oxyyx=11211yx=−+