2016全国二卷理科数学高考真题及答案

2016年全国高考理科数学试题全国卷2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(–3,1)B．(–1,3)C．(1,+∞)D．(–∞,–3)2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x–2)0，x∈Z}，则A∪B=()A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{–1,0,1,2,3}3、已知向量a=(1,m)，b=(3,–2)，且(a+b)⊥b，则m=()A．–8B．–6C．6D．84、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1，则a=()A．–43B．–34C．3D．25、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．96、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A．x=kπ2–π6(k∈Z)B．x=kπ2+π6(k∈Z)C．x=kπ2–π12(k∈Z)D．x=kπ2+π12(k∈Z)8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=()A．7B．12C．17D．349、若cos(π4–α)=35，则sin2α=()A．725B．15C．–15D．–72510、从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A．4nmB．2nmC．4mnD．2mn11、已知F1、F2是双曲线E：x2a2–y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13,则E的离心率为()A．2B．32C．3D．212、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1x与y=f(x)图像的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，...(xm,ym)，则1()miiixy()A．0B．mC．2mD．4m二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=___________．14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。(2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。(3)如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、(本题满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28。记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD上，AE=CF=54，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=10．(1)证明：D'H⊥平面ABCD；(2)求二面角B–D'A–C的正弦值．20、(本小题满分12分)已知椭圆E：x2t+y23=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=x–2x+2ex的单调性，并证明当x0时，(x–2)ex+x+20；(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=ex–ax–ax2(x0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．(1)证明：B，C，G，F四点共圆；(2)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25．(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x=tcosαy=tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|=10，求l的斜率．24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x–12|+|x+12|，M为不等式f(x)2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a+b||1+ab|．参考答案1、解析：∴m+30，m–10，∴–3m1，故选A．2、解析：B={x|(x+1)(x–2)0，x∈Z}={x|–1x2，x∈Z}，∴B={0,1}，∴A∪B={0,1,2,3}，故选C．3、解析：向量a+b=(4,m–2)，∵(a+b)⊥b，∴(a+b)·b=10–2(m–2)=0，解得m=8，故选D．4、解析：圆x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为：(x–1)2+(y–4)2=4，故圆心为(1,4)，d=|a+4–1|a2+1=1，解得a=–43，故选A．5、解析一：E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B．解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C24条路，再从F处到G处最短共有C13条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C24·C13=18条，故选B。6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：l=22+(23)2=4，S表=πr2+ch+12cl=4π+16π+8π=28π，故选C．7、解析：由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移π12个单位得y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π6)，则平移后函数的对称轴为2x+π6=π2+kπ，k∈Z，即x=π6+kπ2，k∈Z，故选B。8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C．9、解析：∵cos(π4–α)=35，sin2α=cos(π2–2α)=2cos2(π4–α)–1=725，故选D．解法二：对cos(π4–α)=35展开后直接平方解法三：换元法10、解析：由题意得：(xi,yi)(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中由几何概型概率计算公式知π/41=mn，∴π=4mn，故选C．11、解析：离心率e=F1F2MF2–MF1，由正弦定理得e=F1F2MF2–MF1=sinMsinF1–sinF2=2231–13=2．故选A．12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y=x+1x=1+1x也关于(0,1)对称，∴对于每一组对称点xi+x'i=0，yi+y'i=2，∴111022mmmiiiiiiimxyxym，故选B．13、解析：∵cosA=45，cosC=513，sinA=35，sinC=1213，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365，由正弦定理：bsinB=asinA，解得b=2113．14、解析：对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为//n，所以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足；故甲(1,3)，16、解析：y=lnx+2的切线为：y=1x1·x+lnx1+1(设切点横坐标为x1)y=ln(x+1)的切线为：y=1x2+1·x+ln(x2+1)–x2x2+1，∴1x1=1x2+1lnx1+1=ln(x2+1)–x2x2+1解得x1=12，x2=–12。∴b=lnx1+1=1–ln2．17、解析：(1)设{an}的公差为d，S7=7a4=28，∴a4=4，∴d=a4–a13=1，∴an=a1+(n–1)d=n．∴b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2．(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+...+[lga1000]．当0≤lgan1时，n=1，2，...，9；当1≤lgan2时，n=10，11，...，99；当2≤lgan3时，n=100，101，...，999；当lgan=3时，n=1000．∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893．18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P(A)=1–P(A)=1–(0.30+0.15)=0.55．(2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，P(B|A)=P(AB)P(A)=0.10+0.050.55=311．⑶解：设本年度所交保费为随机变量X．X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a，∴平均保费与基本保费比值为1.23．19、解析：(1)证明：如下左1图，∵AE=CF=54，∴AEAD=CFCD，∴EF∥AC．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D'H．∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=AEAO·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|2=|OH|