2019年浙江省高考数学试卷以及答案解析

第1页（共22页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。参考公式：若事件A，B互斥，则若事件A，B相互独立，则若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁UA）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3}2．（4分）渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（）A．B．1C．D．2第2页（共22页）3．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（）A．﹣1B．1C．10D．124．（4分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．158B．162C．182D．3245．（4分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝1oga（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．第3页（共22页）C．D．7．（4分）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大8．（4分）设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β9．（4分）设a，b∈R，函数f（x）＝若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0B．a＜﹣1，b＞0C．a＞﹣1，b＜0D．a＞﹣1，b＞010．（4分）设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，an+1＝an2+b，n∈N*，则（）A．当b＝时，a10＞10B．当b＝时，a10＞10C．当b＝﹣2时，a10＞10D．当b＝﹣4时，a10＞10二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11．（4分）复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝．12．（6分）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r．若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（﹣2，﹣1），则m＝，r＝．13．（6分）在二项式（+x）9展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．14．（6分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝第4页（共22页）45°，则BD＝，cos∠ABD＝．15．（4分）已知椭圆+＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是．16．（4分）已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|≤，则实数a的最大值是．17．（6分）已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是，最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．（14分）设函数f（x）＝sinx，x∈R．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y＝[f（x+）]2+[f（x+）]2的值域．19．（15分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．（Ⅰ）证明：EF⊥BC；（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．20．（15分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3．数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn＝，n∈N*，证明：c1+c2+…+cn＜2，n∈N*．21．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，第5页（共22页）且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求的最小值及此时点G的坐标．22．（15分）已知实数a≠0，设函数f（x）＝alnx+，x＞0．（Ⅰ）当a＝﹣时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意x∈[，+∞）均有f（x）≤，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．第6页（共22页）2019年浙江省高考数学答案解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【分析】由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果．【解答】解：∵∁UA＝{﹣1，3}，∴（∁UA）∩B＝{﹣1，3}∩{﹣1，0，l}＝{﹣1}故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．【分析】由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝则该双曲线的离心率为e＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x﹣z，由图可知，当直线y＝﹣x﹣z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．第7页（共22页）【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即＝27，高为6，则该柱体的体积是V＝27×6＝162．故选：B．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5．【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2，∴2≥，∴ab≤4，即a+b≤4⇒ab≤4，若a＝4，b＝，则ab＝1≤4，第8页（共22页）但a+b＝4+＞4，即ab≤4推不出a+b≤4，∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．6．【分析】对a进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；【解答】解：由函数y＝，y＝1oga（x+），当a＞1时，可得y＝是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1oga（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y＝是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1oga（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．【点评】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题．7．【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果【解答】解：E（X）＝0×+a×+1×＝，D（X）＝（）2×+（a﹣）2×+（1﹣）2×＝[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]＝（a2﹣a+1）＝（a﹣）2+∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大故选：D．【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．8．【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍，【解答】解：方法一、如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射第9页（共22页）影D在线段AO上，作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，过P作PF∥AC于F，过D作DH∥AC，交BG于H，则α＝∠BPF，β＝∠PBD，γ＝∠PED，则cosα＝＝＝＜＝cosβ，可得β＜α；tanγ＝＞＝tanβ，可得β＜γ，方法二、由最小值定理可得β＜α，记V﹣AC﹣B的平面角为γ'（显然γ'＝γ），由最大角定理可得β＜γ'＝γ；方法三、（特殊图形法）设三棱锥V﹣ABC为棱长为2的正四面体，P为VA的中点，易得cosα＝＝，可得sinα＝，sinβ＝＝，sinγ＝＝，故选：B．【点评】本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法．9．【分析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2+ax﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x＝；y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2+ax﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2﹣b，y′＝x2﹣（a+1）x，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣第10页（共22页）ax﹣b最多一个零点．不合题意；当a+1＞0，即a＜﹣1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如右图：∴＜0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b＞﹣（a+1）3．故选：C．【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．10．【分析】对于B，令＝0，得λ＝，取，得到当b＝时，a10＜10；对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，得到当b＝﹣2时，a10＜10；对于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，取，得到当b＝﹣4时，a10＜10；对于A，，，≥，当n≥4时，＝an+＞1+＝，由此推导出＞（）6，从而a10＞＞10．【解答】解：对于B，令＝0，得λ＝，取，∴，第11页（共22页）∴当b＝时，a10＜10，故B错误；对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，∴a2＝2，…，an＝2＜10，∴当b＝﹣2时，a10＜10，故C错误；对于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，取，∴，…，＜10，∴当b＝﹣4时，a10＜10，故D错误；对于A，，，≥，an+1﹣an＞0，{an}递增，当n≥4时，＝an+＞1+＝，∴，∴＞（）6，∴a10＞＞10．故A正确．故选：A