机械振动 第3章-单自由度系统的振动

第三章单自由度系统的振动单自由度系统：只需要一个坐标即可完全确定其几何位置的系统。温故知新：振动的分类：单自由度系统的振动按振动系统的自由度分类多自由度系统的振动连续弹性体的振动按振动产生的原因分类：自由振动：无阻尼的自由振动有阻尼的自由振动，衰减振动受迫振动：无阻尼的受迫振动有阻尼的受迫振动自激振动本章重点讨论单自由度系统的自由振动和受迫振动。3§3-1单自由度系统无阻尼自由振动§3-2求系统固有频率的方法§3-3单自由度系统的有阻尼自由振动§3-4单自由度系统的无阻尼受迫振动§3-5单自由度系统的有阻尼受迫振动§3-6临界转速·减振与隔振的概念第3章单自由度系统的振动§3-1单自由度系统无阻尼自由振动一、自由振动的例子5Jk实验确定转动惯量装置6二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解对于任何一个单自由度系统，以q为广义坐标（从平衡位置开始量取），则自由振动的运动微分方程必将是：0aqcq+=则自由振动的微分方程的标准形式：其解为2221CCA)sin(tAqn也可以写成acn2a,c是与系统的物理参数有关的常数，令02qqtCtCqnnsincos21211CCtg有7对于初始扰动引起的自由运动设t=0时，则可求得：00,qqqq==由初始条件决定为：21,CCnqCqC/,.0201tqtqqnnnsincos.002.2020/nqqA0.01qqtgn)sin(tAqn或8三、自由振动的特点：A——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。——初相位，决定振体运动的起始位置。T——周期，每振动一次所经历的时间。f——频率，每秒钟振动的次数，f=1/T，。——固有频率，振体在2秒内振动的次数。反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。nnT2acfnn212n9无阻尼自由振动的特点是：(2)振幅A和初相位取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(1)振动规律为简谐振动；(3)周期T和固有频率仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I)。n四、其它1.如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。102.弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度121212121212,(),stststeqFFmgFFkkmgmgkkkkkkkddd===+\=+=+\=+并联1212121212eq1211()11()kststststeqmgmgmgkkkkmgmgkkkkkkkdddd=+=+=+==+\=+串联并联串联11例1试验确定转动惯量实验过程：把一刚体安装在无摩擦的轴系中，该转轴就是要确定刚体转动惯量的转轴。接着，刚体轴与弹性系数为k的已知的扭转弹簧连接（如图）。使弹簧做微小的扭转后释放，由此产生的简谐运动的周期就可以测量。该系统的运动方程为22....42200kTJJkTJkJkkJnn转动惯量为振动周期为固有频率为或实验确定转动惯量装置kJ例2图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量m，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。解：以x为广义坐标（静平衡位置为坐标原点）。设静平衡状态时弹簧伸长量为，静平衡时，列出力矩平衡方程为：stdststkRdRkdgRmM22)(gkmMdst2或13用机械能守恒定律系统动能为：22222111()222213()22MRxTMxmxRMmx=++=+以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x222[(2)]()222()stststkUxMmgxkxkxMmgxddd=+--+=+-+22KxU得14由T+U=有：const2213()222Mmxkxconst++=3()402Mmxkx++=8032832nkxxMmkMmw+=+=+对时间t求导，再消去公因子，得x得系统微分方程为：系统固有频率为：15例3鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径r，弹簧刚度，重物质量为m,不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。12,kk解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的总动能为：D16系统的势能为：2.2.22.)(21)(2121xRrRmRxMrxMT整理得到：2.2222)()(21xrRmrRMRTxRrRmgddxkkUstst2221)()(21由于带入得到：221)(21xkkU17222221)()()(rRmRMRkkn由T+U=有：constconstxkkxrRmrRMR2212.2222)(21)()(21对时间t求导，再消去公因子，得系统微分方程：x0)()()(222221..xrRmrRMRkkx系统固有频率为：18§3单自由度系统的有粘性阻尼自由振动一、阻尼的概念：阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。例如摩擦阻尼、电磁阻尼、介质阻尼及结构阻尼等。粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。Rcv=-投影式：xRcx=-c——粘性阻尼系数，简称阻尼系数。19二、单自由度系统有阻尼自由振动微分方程及其解：如果进一步令：质量—弹簧系统存在粘性阻尼：mcnmkn2,令022...uunun则mkcnn2其中无量纲的称为相对阻尼系数，则微分方程可写为：022...uuunn令,)0(0uu0..)0(uu0...kuucum20根据常微分理论，它的解具有如下形式：steutu)(0222nnss代入上面微分方程得到特征方程：它的两个特征根为：122,1nns对于不同的阻尼比，上式将给出实特征根或复特征根，以下作分别讨论。1、过阻尼情况（）1这时特征根是一对互异实根，微分方程的通解是ttnneaeatu)1(2)1(122)(式中a1和a2是由初始条件确定的两个积分常数。命上式及其导数中t=0，代入初始条件，即可求得这两个积分常数为：,)0(0uu0..)0(uu12)1(220.1nnuua12)1(220.2nnuua，可以发现其响应是一典型按指数衰减的规律，这种运动至多只过平衡位置一次就会逐渐回到平衡位置，没有振荡特征。222、临界阻尼情况（）1这时特征根是一对相等的实根，微分方程的通解是tnetaatu)()(21命上式及其导数中t=0，代入初始条件，即可求得：,)0(0uu0..)0(uu01ua00.2uuan，可以发现其响应也是按指数衰减的规律，这种运动至多只过平衡位置一次就会逐渐回到平衡位置，没有振荡特征。233、欠阻尼情况（）10这时特征根是一对共轭实根22,11jnns微分方程的通解是)sincos()(21tataetuddtn式中称为系统的阻尼振动频率或自然频率。21nd显然，它小于系统的固有频率。命上式及其导数中t=0，代入初始条件，即可求得：,)0(0uu0..)0(uu01uadnuua00.2，25将a1和a2代入微分方程的通解得到0.000.0)()()sincos()(utVutUtuutuetuddndtn),sin1(cos)(2ttetUddtn式中tetVddtnsin)(分别是单位初始位移和单位初始速度引起的自由振动。微分方程的通解也可以写成一般形式：)sin()(dtnaetu200.20)(dnuuua式中00.0arctanuuund§4单自由度系统的无阻尼受迫振动一、受迫振动的概念受迫振动：在外加激振力作用下的振动。简谐激振力：H—力幅；—激振力的圆频率；—激振力的初相位。)sin(tHS)sin(tHkxxm则令,2mHhmkn)sin(2thxxn无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。二、无阻尼受迫振动微分方程及其解2821xxx)sin()sin(21tbxtAxn为对应齐次方程的通解为特解)sin(,22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解为：稳态受迫振动3、稳态受迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。三、稳态受迫振动的主要特性：1、在简谐激振力下，单自由度系统稳态受迫振动亦为简谐振动。2、稳态受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。29(1)=0时kHhbn20(2)时，振幅b随增大而增大；当时，nbn(3)时，振动相位与激振力相位反相，相差。radn22nhbb随增大而减小；0;,20bbbn时时—振幅比或称动力系数—频率比—曲线幅频响应曲线（幅频特性曲线）1304、共振现象,时nb，这种现象称为共振。此时，)cos(2tBtxn)cos(22,22ttbxthbhBnnnn31§5单自由度系统的有阻尼受迫振动一、有阻尼受迫振动微分方程及其解tHQxcRkxFxxxsin,,tHxckxxmsin将上式两端除以m，并令mHhmcnmkn;2;2该方程为有阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微分方程的解为：21xxxthnxxxnsin2232x1是齐次方程的通解)02(2xxnxn小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、积分常数，取决于初始条件）x2是特解：)sin(2tbx代入标准形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb—受迫振动的振幅—受迫振动相位滞后激振力相位角振动微分方程的全解为)sin()sin(22tbtAexnnt衰减振动受迫振动33振动开始时，二者同时存在的过程——瞬态过程。仅剩下受迫振动部分的过程——稳态过程。需着重讨论部分。nnnbb;,0令频率比振幅比阻尼比二、阻尼对受迫振动的影响1、振动规律简谐振动。2、频率：有阻尼受迫振动的频率，等于激振力的频率。3、振幅)sin(2tbx2222212tg;4)1(1得到：)(0kHb其中：34(1),1,)(1时n可不计阻尼。,0bb(2),0,)(1时n阻尼也可忽略。时时0.70,)(1n(3)阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。354、相位差有阻尼受迫振动相位总比激振力滞后一相位角，称为相位差。212tg(1)总在0至区间内变化。(2)相频曲线（-曲线）是一条单调上升的曲线。随增大而增大。(3)共振时=1，，曲线上升最快，阻尼值不同的曲线，均交于这一点。(4)1时，随增大而增大。当》1时，反相。236§6临界转速减振与隔振的概念一、转子的临界转速引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速。这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。单圆盘转子：圆盘：质量m,质心C点；转轴过盘的几何中心A点，AC=e，盘和轴共同以匀角速度