4.5反函数的概念

引例甲、乙两地相距30公里，某人以10公里/小时的速度从甲地到乙地，1、将路程y（公里）表示成时间x（小时）的函数；2、将时间x（小时）表示成路程y（公里）的函数。y=10xx=y/10定义反函数的概念：一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，在D中总有唯一确定的x值和它对应，且满足y=f(x)，如果对A中任意一个值y，y这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数，记作：x=f-1(y)在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为：y=f-1(x)，（x∈A）例题例1：求下列函数的反函数：xy2（1）；xy2（2）;探究1）反函数的反函数是什么？3）任意一个函数都有反函数吗？反函数存在的条件是什么？原函数即原函数与反函数互为反函数2）反函数的定义域、值域与原函数有什么关系？从反函数的定义可知，反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。探求反函数成立的条件Rx0x2xy例1求下列函数的反函数（1）（）（2）（）（3）（）2xy2xy0x反函数成立条件：x与y必须一一对应在定义域上单调的函数是否一定有反函数？具有反函数的函数是否一定是单调函数？有反函数单调函数()yfx()(fxaa已知函数有反函数，则方程（A）有且只有一个实根（B）至多有一个实根（C）至少有一个实根（D）不同于以上结论为常数）………………（）B探究1）一次函数y=ax+b（a≠0）是否有反函数？2）反比例函数（a≠0）是否有反函数？xay3）二次函数是否有反函数？)0(2acbxaxy什么情况下具有反函数？例1.判断下列函数是否存在反函数.(1)(2)(3)(4)3,0yxx21,yxxR42,yxxR,11xyxx(5)(6)xyOxyO存在不存在存在存在存在不存在求下列函数的反函数.(1)42,yxxR(2)21,0yxx解:(1)yR24yx因此反函数为1,42xyxR[1,)y(2)解得：1xy解得：因此反函数为1,1yxx归纳小结求反函数的步骤：1）通过解方程的方法变形，把x用y表示出来；2）对字母x、y进行互换；3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。例．求下列函数的反函数：)21,(2413)4()0(1)3(1)2(24)1(23xRxxxyxxyxyxy注意:(1)求反函数一定要写反函数的定义域（原函数值域）。(2)当原函数是自然定义域时，反函数的定义域可以直接由反函数解析式求得。例1、求函数的反函数，并且在同一坐标内画出原函数和其反函数的图象。3xyxy3xy3xyxy解:由得:3xy与互换,3xy所求反函数为。Rxxy,33,yxRyyx从函数图像看：原函数和反函数图像关于y=x对称。探讨函数及其反函数的关系从函数角度看：从函数图像看：原函数和反函数图像关于y=x对称。若函数有反函数，则的反函数是，即和互为反函数。反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域。)(xfy)(xfy)(xfy)(1xfy)(1xfy)(1xfy点在原函数图象上点在反函数图象上.),(ba),(ab单调函数的反函数也是单调函数且两个函数具有相同的单调性.yx()yfx1()yfxyxOyx()yfx1()yfxyxO单调函数的反函数的单调性:反函数的概念小结(),(,)yfxxDyA1(),xfyyA存在反函数的是一一对应的x与y函数与函数(),yfxxD互为反函数.充要条件是：(1)(2)对应法则互逆，定义域、值域互反.(3)求反函数的步骤：1）通过解方程的方法变形，把x用y表示出来；2）对字母x、y进行互换；3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。例.已知，求2()1,2fxxx1(4)f解：1()1,3fxxx因此1(4)415f解法二：设1(4)fa因此()4fa即点在图像上(,4)a()fx即点在图像上(4,)a1()fx214,2aa解得5a解毕1()()fabfba例2.若点（1，2）既在函数图象上，又在它反函数的图象上，求实数的值。baxyba,例3.已知,求0,13)(2xxxxf)3(1fa=-1,b=5x=1。　　　　则的反函数为：已知函数例3,1log3112fxfyxxf4例4.若两条直线和关于直线对称,求的值.mxy23nxyxynmn=0.5,m=-6,m+n=-5.5原函数与反函数的交点一定在直线yx上吗？们的交点。图像上所有的点都是它图像重合，其反函数不一定。如,1,11xxfxxf举出一些函数,使它的反函数是其本身,说明他们的图象有什么特征?函数的反函数是其本身函数图象关于直线对称.xy)(xfy)(xfy例.求证：函数的图像关于直线21()2xfxxyx对称.分析：由于存在反函数，且1()fxyx因此，即证1()()fxfx证：212xyx221yxyx212yxy121()()2xfxfxx因此的图像关于直线对称.()fxyx与的图像关于对称，21()2xfxx()fx证毕例.若函数的图象关于直线对称,求实数的值.12)(xaxxfxyaa=1反函数与原函数的奇偶性是否一致？答：偶函数没有反函数；奇函数不一定有反函数，若有，仍是奇函数。图像也关于原点对称。图像上。也在关于原点的对称点图像上图像上任意一点图像上。也在关于原点的对称点图像上任意一点为奇函数，则证明：若xfyxfyxyxyxfyxfyyxyxxfyxfy111,,,,思考一个函数是否具有反函数与它的奇偶性有关吗?与单调性有关吗?请同学们研究如下问题:1、如果一个函数是奇函数,是否一定存在反函数?2、如果一个函数是偶函数,是否一定没有反函数?3、如果一个函数是单调函数,是否一定有反函数?4、如果一个函数不是单调函数,是否一定没有反函数?。的反函数是答：不是。1axfyaxf互为反函数吗？与1axfyaxfy12()1xfxx()ygx1(1)fxyx(2)g42()1()2()()55ABCD例：设函数，函数的图像与的图像关于直线对称，则………………（）B小结：。数需配方解出求受限二次函数的反函)10(负根。定要考虑取正根还是取涉及到开偶次根时，一解)9(性一致。）原函数与反函数单调8（函数。话，它的反函数也是奇奇函数存在的反函数的）偶函数没有反函数，7（.的反函数不是）6（。1上，例如：的交点不一定在直线）原函数与反函数图像5（图像上。就在),(那么点图像上，在),(若点;对称关于直线）原函数与反函数图像4（域（原函数的值域）。求反函数一定要写定义)3(必单调。数，有反函数的函数未）单调函数一定有反函2（有反函数。只有一一对应的函数才)1(11xxaxfyaxfyxyxyxfyxyxfyyxxy