《定积分的概念》课件-(1)

定积分的概念求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xixD1lim()niniSfxx==D1()niiSfxx=D(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban-=11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb--一、定积分的定义11()()nniiiibafxfnxx==-D=小矩形面积和S=如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x)dx==ni10limf(xi)Dxi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy=S=baf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为s=bav(t)dt。Oab()vvt=tv定积分的定义：1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即112001()3Sfxdxxdx===根据定积分的定义右边图形的面积为1xyOf(x)=x213S=1SD2SD2()2vtt=-+Ovt12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005()(2)3Svtdttdt==-=根据定积分的定义左边图形的面积为1.dxxf)(与badxxf)(的差别3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有==bababaduufdttfdxxf)()()(4．规定：-=abbadxxfdxxf)()(0)(=aadxxfdxxf)(是)(xf的全体原函数是函数badxxf)(是一个和式的极限是一个确定的常数注：2.当xfiniD=)(1x的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及xi点的取法无关。f(x)[a,b](2)定积分的几何意义：Oxyaby=f(x)baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当a=b时，有baf(x)dx=0。当f(x)0时，由y=f(x)、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([-==-，dxxfba)(．aby=f(x)y=-f(x)dxxfSba)]([-=baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。=-S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。=-Saby=f(x)Oxy()ygx=探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?aby=f(x)Oxy1()baSfxdx=()ygx=12()()bbaaSSSfxdxgxdx=-=-2()baSgxdx=三:定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[ba=babadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kf=badx)x(fk三:定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性=bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.=2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyaby=f(x)Ｃ性质3不论a，b，c的相对位置如何都有aby=f(x)baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。cOxybaf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。例1：利用定积分的定义,计算的值.130xdx例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图①中，被积函数（,0)(]0[)(12=xfaxxf解：dxxAa20=0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图②中，被积函数（,0)(]21[)(22-=xfxxf解：dxxA221-=0000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图③中，被积函数（,0)(][1)(3=xfbaxf解：dxAba=0000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图④中，被积函数（0)(]20[,0)(]01[]21[1)1()(42----=xfxfxxf解：dxxdxxA-----=-]1)1[(]1)1[(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22=-xdx例3：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数,,0sin]20[,0sin]02[]22[sin)(21AAxxxxf=--=0)(1222=-=-AAdxxf2-22A1Axyf(x)=sinx1-1利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。20sinxdx-212dxx利用定积分的几何意义，说明下列各式。成立：0sin20=xdx=200sin2sinxdxxdx1）．2）.1）．2）.练习：试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x2120xy=f(x)y=g(x)aby例4dxx-1021计算积分义知，该积分值等于解：由定积分的几何意的面积（见下图）所围及轴，曲线10,12==-=xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102=-dxx所以