微积分一练习题及答案

1《微积分（1）》练习题一．单项选择题1．设0xf存在，则下列等式成立的有（）A．0000limxfxxfxxfxB．0000limxfxxfxxfxC．00002limxfhxfhxfhD．0000212limxfhxfhxfh2．下列极限不存在的有（）A．201sinlimxxxB．12lim2xxxxC．xxe10limD．xxxx632213lim3．设)(xf的一个原函数是xe2，则)(xf（）A．xe22B．xe2C．xe24D．xxe224．函数1,11,110,2)(xxxxxxf在,0上的间断点1x为（）间断点。A．跳跃间断点；B．无穷间断点；C．可去间断点；D．振荡间断点5．设函数xf在ba,上有定义，在ba,内可导，则下列结论成立的有（）A．当0bfaf时，至少存在一点ba,，使0f；B．对任何ba,，有0limfxfx；C．当bfaf时，至少存在一点ba,，使0f；D．至少存在一点ba,，使abfafbf；6．已知xf的导数在ax处连续，若1limaxxfax，则下列结论成立的有（）A．ax是xf的极小值点；B．ax是xf的极大值点；2C．afa,是曲线xfy的拐点；D．ax不是xf的极值点，afa,也不是曲线xfy的拐点；二．填空：1．设xfy1arcsin，f可微，则xy2．若32325xxxy，则6y3．过原点1,0作曲线xey2的切线，则切线方程为4．曲线2142xxy的水平渐近线方程为铅垂渐近线方程为5．设xxf1)(ln，则xfxf三．计算题：（1）321lim221xxxx（2）32limxxxx（3）xxxx3sin)1ln(lim20（4）221lnxy求dy（5）053xyexy求0xdxdy四．试确定a，b，使函数0,10,2sin1xexaxbxfax在0x处连续且可导。五．试证明不等式：当1x时，exe21exexx六．设axaxafxfxF,，其中xf在,a上连续，xf在,a内存在且大于零，求证xF在,a内单调递增。3《微积分》练习题参考答案七．单项选择题1．（B）2．（C）3．（A）4．（C）5．（B）6．（B）八．填空：（每小题3分，共15分）1．xfxx1arcsin1122．06y3．12xy4．2y，0x5．xexf1，cexxfx三,计算题：（1）321lim221xxxx（2）32limxxxx21222lim321lim1221xxxxxxx262lim3223)21(lim2limeexxxxxxxxxxxx（3）xxxx3sin)1ln(lim20（4）221lnxy求dy313lim3sin)1ln(lim2020xxxxxxxxdxxxdxxxdy2121ln4221121ln2（5）053xyexy求0xdxdyxyxyxyxeyyeyyyyxye2235053又10yx42351020yxxyxyxxeyyey（九．试确定a，b，使函数0,10,2sin1xexaxbxfax在0x处连续且可导。（8分）解：22sin1lim000baaxbfx01lim000axxef，函数xf在0x处连续0000ff02ba，（1）bxabaxbfx22sin1lim00axexbaefaxxaxx1lim21lim000函数xf在0x处可导00ff，故ba（2）由（1）（2）知1ba十．试证明不等式：当1x时，exe21exexx（8分）证：（法一）设tetfxt,1则由拉格朗日中值定理有111xexeeexexxx,1整理得：exe21exexx法二：设exexfx10xeexfx故exexfx在1x时，为增函数，01fexexfx，即exex设exeexfxx211012121xxexeeexfxxxx故exeexfxx21在1x时，为减函数，0121fxeeexfxxx，即exe21exx5综上，exe21exexx十一．设axaxafxfxF，其中xf在,a上连续，xf在,a内存在且大于零，求证xF在,a内单调递增。（5分）证：2)(axafxfaxxfxFxaaxaxfaxxf2)(axfxfxaxxf0故xF在,a内单调递增。