空间直角坐标系

一、空间直角坐标系二、曲面方程第一模块函数极限连续第一节空间直角坐标系、曲面方程与空间曲线三、空间曲线2以的角度转向y轴的正向，1.空间直角坐标系过空间定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点，并且通常取相同的长度单位.这三条数轴分别称为x轴，y轴，z轴.各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定:以右手握住z轴，让右手的四指从x轴的正向，图8–1这时大拇指所指的方向就是z轴的正向.这个法则叫做右手法则.右手法则一、空间直角坐标系这样就组成了空间直角坐标系.O称为坐标原点，每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xy坐表面，类似地有yz坐标面，zx坐标面.这些坐标面把空间分成八个部分，每一个称为一个卦限.x、y、z轴的正半轴的卦限称为第I卦限，xyzⅧⅦⅥⅤⅣⅠⅢⅡO八卦限空间的点就与一组有序数组x，y，z之间建立了一一对应关系.按逆时针的方向从第I卦限开始，从Oz轴的正向向下看，，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限;第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.xyzOMPRQ它们分别称为x坐标，y坐标和z坐标.有序数组x，y，z就称为点M的坐标，记为M(x，y，z)，过点M1M2各作三张平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体.求它们之间的距离d=|M1M2|.设空间两点M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2),2d2221QMQM221MM(△M1QM2是直角三角形)22221QMPQPM易知(△M1PQ是直角三角形)zOy1xyz1z2y2x2x1QPM1M2P1M2M2.两点之间的距离图8-4212212212)()()(zzyyxx222221QMMPPM所以.)()()(212212212zzyyxxd特别地，点M(x,y,z)与原点O(0,0,0)的距离222zyxOMd两点间距离例4已知A(－3,2,1)、B(0,2,5).△AOB的周长.解由两点间距离公式可得,5)51()22()03(222BA由两点间距离公式可得,1412)3(222OA.29520222BO所以，△AOB的周长.1429145BOAOABl若曲面上的点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0(或z=f(x,y))，而不在曲面上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0(或z=f(x,y))，则称方程F(x,y,z)=0(或z=f(x,y))为曲面的方程.而曲面就称为方程F(x,y,z)=0(或z=f(x,y))的图形.二、曲面方程的概念1.球面方程球心在M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程2202020)()()(Rzzyyxx半径为R的球面方程为球心在原点时，.2222Rzyx三、常见的二次曲面及其方程半径为1的球面.例10122222222zxzyx方程表示怎样的曲面?解原方程两边同时除以2，并将常数项移到等式右端，得21222zxzyx配方得.1)21()21(222zyx所以，原方程表示球心在)21,0,21(定曲线C称为柱面的准线.2.母线平行于坐标轴的柱面方程动直线L沿给定曲线C平行移动形成的曲面，称为柱面，动直线L称为柱面的母线，LC柱面的形成由于方程f(x,y)=0不含z，所以点M(x,y,z)也满足方程f(x,y)=0.设M(x,y,z)为柱面上的任一点，过M作平行于z轴的直线交xy坐标面于点),,,(zyxM由柱面定义可知必在准线C上.M所以的坐标满足曲线C的方程f(x,y)=0.M而不在柱面上的点作平行于z轴的直线与xy坐标面的交点必不在曲线C上，也就是说不在柱面上的点的坐标不满足方程f(x,y)=0.所以，不含变量z的方程xyzOMMLC现在来建立以xy坐标面上的曲线C:f(x,y)=0为准线，平行于z轴的直线L为母线的柱面方程.f(x,y)=0在空间表示以xy坐标面上的曲线为准线，平行于z轴的直线为母线的柱面.类似地，不含变量x的方程f(y,z)=0平行于x轴的直线为母线的柱面.在空间表示以yz坐标面上的曲线为准线，而不含变量y的方程f(x,z)=0在空间表示以xz坐标面上的曲线为准线，平行于y轴的直线为母线的柱面.例如方程在空间表示以xy坐标面上的圆为准线、222Ryx平行于z轴的直线为母线的柱面.称为圆柱面xyzO方程y=x2在空间表示以xy坐标面上的抛物线为准线、平行于z轴的直线为母线的柱面.称为抛物柱面.xyzO1422zx平行于y轴的直线为母线的柱面,方程在空间表示以xz坐标面上的椭圆为准线，称为椭圆柱面.xyzO2绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程.现在来建立yz面上曲线C:f(y,z)=0设M(x,y,z)为旋转曲面上任意一点，过点M作平面垂直于z轴，交z轴于点P(0,0,z)，交曲线C于点M0(0,y0,z0).由于点M可以由点M0绕z轴旋转得到，因此有3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程平面曲线C绕同一平面上定直线L旋转所形成的曲面，称为旋转曲面，定直线L称为旋转轴.xyzOMM0PCf(y0,z0)=0所以又因为M0在曲线C上，将①、②代入f(y0,z0)=0，即得旋转曲面方程:.0),(22zyxf同理，曲线C绕y轴旋转成的曲面方程为.0),(22zxyf,,00zzPMPM,22yxPM因为,00yPM所以,220yxy②①yzOMM0PC旋转曲面的形成例2将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求所得旋转曲面方程:(1)yz坐标面上的直线z=ay(a0)，绕z轴.(2)yz坐标面上的抛物线z=ay2(a0)，绕z轴.(3)xy坐标面上的椭圆,12222cyax分别绕x、y轴.解(1)yz坐标面上的直线z=ay(a0)绕z轴旋转，故z保持不变，将y换成,22yx则得).(22yxaz即所求旋转曲面方程为),(2222yxaz表示的曲面称为圆锥面，点O称为圆锥的顶点.(2)yz坐标面上的抛物线z=ay2绕z轴旋转所得的曲面方程为),(22yxaz该曲面称为旋转抛物面.其特征是:当a0时，旋转抛物面的开口向下.一般地，2222byaxz所表示的曲面称为椭圆抛物面。方程xyzO(3)xy坐标面上的椭圆绕x轴旋转，12222byax故x保持不变，而将y换成,22zy得旋转曲面的方程为.1222222bzbyax该曲面称为旋转椭球面.类似地，该椭圆绕y轴旋转而得的旋转椭球面的方程为.1222222azbyax一般地，方程1222222czbyax所表示的曲面称为椭球面.其特征是:用坐标面或平行于坐标面的平面x=m，y=n，z=h(ama，bnb，chc)截曲面所得到的交线均为椭圆.当a，b，c中有a=b或b=c或a=c时，即为旋转椭球面，当a=b=c时，即为球面.xyzO1.空间曲线的一般方程0),,(0),,(21zyxFzyxF称为空间曲线的一般方程例3下列方程组表示什么曲线?;3,25)1(222zzyx.0,25)2(222zzyx四、空间曲线的方程z=3是平行于xy坐标面的平面，因而它们的交线是在平面z=3上的圆.(1)因为x2+y2+z2=25是球心在原点，半径为5的球面，解xyzO因而它们的交线是在xy坐标面上的圆z=0是xy坐标面，(2)因为第一个方程所表示的球面与(1)相同，.2522yx若把(2)写成同解方程组,0,2522zyx它表示母线平行于z轴的圆柱面与xy坐标面的交线.这样更清楚地看出它是xy坐标面上的圆.2522yxxyzOt为参数.2.空间曲线的参数方程空间曲线上动点M的坐标x，y，z也可以用另一个变量t的函数来表示，即.)(),(),(tzztyytxx形如上的方程组称为曲线的参数方程，则从P0到P所转过的角=t，质点在P0(R,0,0)处，向平行于z轴的方向上升.例4设质点在圆柱面上以均匀的角速度222Ryx绕z轴旋转，同时又以均匀的线速度v运动开始，即t=0时，求质点的运动方程.解设时间t时，质点的位置为P(x,y,z)，由P作xy坐标面的垂线垂足为Q(x,y,0)上升的高度QP=vt，即质点的运动方程为：此方程称为螺旋线方程.,,sin,cosvtztRytRxzyxP0QPO设为已知空间曲线，则以为准线，平行于z轴的直线为母线的柱面，称为空间曲线关于xy坐标面的投影柱面.而投影柱面与xy坐标面的交线C称为曲线在xy坐标面的投影曲线.类似地，可以定义曲线关于yz坐标面、zx坐标面的投影柱面及投影曲线.设空间曲线的方程为,0),,(,0),,(21zyxFzyxF消去z，得G(x,y)=0.五、空间曲线在坐标面上的投影就可得到关于yz坐标面或者zx坐标面的投影柱面方程，可知满足曲线的方程一定满足方程G(x,y)=0，而G(x,y)=0是母线平行于z轴的柱面方程，因此，柱面G(x,y)=0就是曲线关于xy坐标面的投影柱面.而0,0),(zyxG就是曲面在xy坐标面上的投影曲线的方程.同理，从曲线的方程中消去x或者y，从而也可得到在相应的投影曲线的方程.得x2+y23x5y=0，在xy坐标面上的投影曲线的方程.例5求曲线053:22zyxyxz解从曲线的方程中消去z，即,217)25()23(22yx它是曲线关于xy坐标面的投影柱面－圆柱面的方程，在xy坐标面上投影曲线是圆..0,217)25()23(22zyx空间直线在坐标面上的投影yyxzyx8,64:22222例6求曲线在xy,yz坐标面上的投影曲线的方程.yyx822解就是关于xy坐标面的投影柱面方程，因而曲线在xy坐标面上的投影曲线是圆..0,822zyyx从曲线的方程中消去x，得到曲线关于yz坐标面的投影柱面的方程.6482yz所以在yz坐标面的投影曲线是一段抛物线0,6482xyz(0≤y≤8).