2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案

12015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1.集合13AxxxN，的子集有（）A．4个B．8个C．16个D．32个【答案】C【解答】由13x，知24x，结合xN，得0123A，，，。∴A的子集有4216个。2．若直线2l与直线1l：21yx关于直线yx对称，则2l与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．1B．23C．12D．14【答案】D【解答】在直线1l：21yx取点(01)A，，则(01)A，关于直线yx的对称点(10)A，在直线2l上。又直线1l与直线yx的交点(11)P，在直线2l。∴2l过(10)A，和(11)P，两点，其方程为1122yx。∴2l与坐标轴交于(10)，和1(0)2，两点，2l与坐标轴围成的三角形的面积为14。3．给出下列四个判断：（1）若a，b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a，b都相交。（2）对平面，和直线l，若，l，则l∥。（3）对平面，和直线l，若l，l∥，则。（4）对直线1l，2l和平面，若1l∥，21ll∥，且2l过平面内一点P，则2l。其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。对于（1），设aa∥，过a和b的平面为，则当点P在平面内，且不在直线b上时，找不到直线同时与a，b都相交。24．如图，已知正方体1111ABCDABCD，E为CD中点，则二面角1EABB的正切值为（）A．1B．24C．2D．22【答案】D【解答】如图，作EFAB于F，作1FOAB于O，连结OE。由1111ABCDABCD为正方体，知11EFABBA面，1EFAB。又1ABOF。因此，1ABOEF面，1OEAB。∴EOF为面角1EABB的平面角。设正方体棱长为a，则EFa，11244OFABa。∴tan22EFEOFOF。5．已知ABC△为等腰直角三角形，CACB，4AB，O为AB中点，动点P满足条件：2POPAPB，则线段CP长的最小值为（）A．3B．2C．5D．4【答案】B【解答】以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系。则(20)A，、(20)B，、(02)C，。设()Pxy，，由2POPAPB，知222222(2)(2)xyxyxy。∴2222222()(44)(44)xyxyxxyx，即222222222()()8()1616xyxyxyx，化简，得222xy。∴222222(2)2442(1)4CPxyyyyy。∴1y时，CP有最小值2。此时，(31)P，。6．记eae，b，ce，ed，则a，b，c，d的大小关系为（）A．adcbB．acdbC．badcD．bcda（必要时，可以利用函数()lnfxexx在0e，上为增函数，在e，上为减函数）【答案】A【解答】lnc，lnlnde。设()lnfxexx，由()fx在0e，上为增函数，在e，上为减函数，第4题图第4题答题图图3得()()ffe，于是()ln()ln0fefeeee。∴lne，即lnlndc，于是dc，ee。又显然，eeaed，ceb。于是，adcb。二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知()fx为奇函数，()gx为偶函数，且2()()2xfxgxx，则(1)f。【答案】34【解答】依题意，有(1)(1)213fg…………①，13(1)(1)122fg。由()fx为奇函数，()gx为偶函数，得3(1)(1)2fg。…②①②，得32(1)32f，3(1)4f。8．已知直线l：10xBy的倾斜角为，若45120，则B的取值范围为。【答案】3(1)3，【解答】当90时，0B；当4590时，11B，解得10B；当90120时，13B，解得303B。∴B的取值范围为3(1)3，。9．如图，在三棱锥PABC中，PAPBPC，PAPB，PAPC，PBC△为等边三角形，则PC与平面ABC所成角的正弦值为。【答案】217【解答】如图，作POABC面于O，则PCO就是PC与平面ABC所成的角。∵PAPB，PAPC，∴PAPBC面。设PAPBPCa，则第9题图423113333412PABCAPBCPBCVVPASaaa△。又2177224ABCSaaa△，217312PABCABCVPOSaPO△。∴37POa，321sin77POPCOPC。或求出ABC△外接圆半径OC后，再求解。10．函数22()236fxxxxx的最小值为。【答案】6【解答】由2223060xxxx，知1332xxxx或或，3x或3x。∴()fx的定义域为33，，。∵2123yxx和226yxx在3，上都是减函数，在3，上都是增函数。∴22()236fxxxxx在3，上是减函数，在3，上是增函数。∴()fx的最小值是(3)f与(3)f中较小者。∵(3)23f，(3)6f。∴()fx的最小值是6。11．已知函数254xxyaa（0a，且1a）在区间11，上的最小值为54，则254xxyaa在区间11，上的最大值为。【答案】10【解答】设xta，则2254154()24xxyaat在52，上为增函数。01a时，1taa，，2541()24yt在1aa，上为增函数。∴2min5415()244ya，12a。2max541(2)1024y。1a时，1taa，，2541()24yt在1aa，上为增函数。第9题答题图5∴2min15415()244ya，2a。2max541(2)1024y。12．若实数x，y满足条件：222304936xyxy，则2xy的最小值为。【答案】42【解答】由条件知，230xy，230xy，因此，23xy，0x。由对称性，不妨设0y，则22xyxy。设2xyt，代入224936xy，消x并整理，得2282360ytyt。…………①由①的判别式22432(36)0tt△，得42t或42t。由23xyy知，20txy，42t。又42t时，①化为288240yy，得22y，此时924x，符合230xy。∴t的最小值为42。因此，2xy的最小值为42。6三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．在ABC△中，已知点(21)A，，(28)B，，且它的内切圆的方程为224xy，求点C的坐标。【答案】易知直线AB于圆O相切，直线AC、BC的斜率存在。设直线AC的方程为11(2)ykx，即11120kxyk。由直线AC与圆O相切，知121001221kk，解得134k。∴直线AC的方程为34100xy。………………………8分设直线BC的方程为28(2)ykx，即22280kxyk。由直线BC与圆O相切，知222002821kk，解得2158k。∴直线BC的方程为158340xy。……………………12分由34100158340xyxy，解得67xy。∴点C的坐标为(67)，。…………………………16分714．已知2()fxxbxc（b，cR，0b），且对任意实数x，()2fxxb恒成立。（1）求证：cb；（2）若当cb时，不等式22()()()Mcbfcfb对满足条件的b，c恒成立，求M的最小值。【答案】（1）∵对任意实数x，()2fxxb恒成立，∴对任意实数x，22xbxcxb，即2(2)0xbxcb恒成立。∴2(2)4()0bcb△＝，即2440bc。…………………4分∴2444cbb，cb。………………………8分（2）由cb以及（1）知，0cb。∴22()()()Mcbfcfb恒成立，等价于22()()fcfbMcb恒成立。…………12分设ctb，则2222()()()(2)221111fcfbcbcbcbtcbcbcbtt。由1ctb，知22()()111fcfbcbt的取值范围为3(1)2，。∴32M，M的最小值为32。………………………16分815．如图，AD、CF分别是ABC△的中线和高线，PB、PC是ABC△外接圆O的切线，点E是PA与圆O的交点。（1）求证：AFDACP△∽△；（2）求证：DC平分ADE。【答案】（1）由PC为圆O切线，知CAFDCP。∵PB、PC是圆O的切线，D为BC中点，∴O、D、P三点共线，且OPBC。∴90AFCCDP，AFCCDP△∽△。∴AFCDACCP。………………4分∵CFAB，D为BC中点，∴12FDBCDCDB，DFBDBF。∴AFFDACCP。于是，FACAFDCP。又∵180180AFDDFBABCACP。∴AFDACP△∽△。………………8分（2）延长AD交圆O于点G，连结GE，BG，EC。由AFDACP△∽△，知DAFPAC.∴BGEC，CBGBCE。………………12分又D为BC中点，DBDC。∴BDGCDE△≌△。∴BDGCDE，ADCBDGCDE。∴DC平分ADE。…………………16分（2）或解：连结OA、OB、OD、OE。由OBBP，BDOP，知2PBPDPO。又由切割线定理知，2PBPEPA，∴PDPOPEPA。∴E、A、O、D四点共圆。………………12分∴ODAOEAEAOPDE。又OPBC于D，因此，ADCEDC。∴DC平分ADE。………………………16分第15题图第15题答题图第15题答题图916．已知正整数a，b，c（abc）为ABC△的三边长，且222151515abc，求abc的最小值。其中m表示m的小数部分，即mmm（m表示不超过m的最大整数）。【答案】由222151515abc，知222(mod15)abc（即，2a，2b，2c被15除的余数相同。）……………………………4分∴2(21)0(mod15)bab，2(21)0(mod15)cbc。由2与15互质知，21(mod15)ab，21(mod15)bc………………8分经验算，可知满足21(mod15)t的最小正整数4t。∴ab，bc都是4的倍数。………………………12分设4bcx，4acy（x，y为正整数，且yx）。∵a，b，c构成三角形三边长，∴44bccxcacy，4()cyx。∴5c。经验证，5，5419，54213可以为三角形的三边长。∴abc的最小值为27。此时，13a，