高三数学综合复习知识点整理

数学01---第1页共18页第1讲集合1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Aa；若b不是集合A的元素，记作Ab；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。2．集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或BA）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则，SC=}|{AxSxx且称S中子集A的补集；（3）简单性质：1）SC(SC)=A；2）SCS=，SC=S4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集}|{BxAxxBA且。（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。}|{BxAxxBA或并集注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5．集合的简单性质：（1）;,,ABBAAAAA（2）;,ABBAAA（3）);()(BABA（4）BBABAABABA;（5）SC（A∩B）=（SCA）∪（SCB），SC（A∪B）=（SCA）∩（SCB）。【典例解析】题型1：集合的概念例1．（2009广东卷理）已知全集UR，集合{212}Mxx和{21,1,2,}Nxxkk的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A.3个B.2个C.1个D.无穷多个数学01---第2页共18页答案B解析由{212}Mxx得31x，则3,1NM，有2个，选B.例2．(2009山东卷理)集合0,2,Aa,21,Ba,若0,1,2,4,16AB,则a的值为()A.0B.1C.2D.4答案D解析∵0,2,Aa,21,Ba,0,1,2,4,16AB∴2164aa∴4a,故选D.题型2：集合的性质例3．(2009山东卷理)集合0,2,Aa,21,Ba,若0,1,2,4,16AB,则a的值为()A.0B.1C.2D.4答案D解析∵0,2,Aa,21,Ba,0,1,2,4,16AB∴2164aa∴4a,故选D.1.设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={x∈R︱x2+x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为（）A．{2}B．{3}C.{－3，2}D．{－2，3}2.已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（）．解：由题知可解得A={y|ya2+1或ya},B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围．如图由4122aa，得332aaa或∴3a或23a.即A∩B＝φ时a的范围为3a或23a.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为332|aaa或.注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．例4．已知全集32{1,3,2}Sxxx，A={1,21x}如果}0{ACS，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由解：∵}0{ACS；∴AS00且，即322xxx＝0，解得1230,1,2xxx当0x时，112x，为A中元素；当1x时，Sx312当2x时，213xS∴这样的实数x存在，是1x或2x。另法：∵}0{ACS∴AS00且，3A∴322xxx＝0且213x∴1x或2x。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当0x时，112x”不能满足集合中24a2+1a数学01---第3页共18页元素的互异性。此题的关键是理解符号}0{ACS是两层含义：AS00且。变式题：已知集合2{,,2},{,,}AmmdmdBmmqmq，0m其中,AB且,求q的值。解：由BA可知，（1）22mqdmmqdm，或（2）mqdmmqdm22解（1）得1q，解（2）得21,1qq或，又因为当1q时，2mqmqm与题意不符，所以，21q。题型3：集合的运算例5．(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数1()2xfxx的定义域集合是A,函数22()lg[(21)]gxxaxaa的定义域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求实数a的取值范围．解（1）A＝|12xxx或B＝|1xxaxa或（2）由AB＝B得AB，因此112aa所以11a,所以实数a的取值范围是1,1例6．（2009宁夏海南卷理）已知集合1,3,5,7,9,0,3,6,9,12AB,则NACBI()A.1,5,7B.3,5,7C.1,3,9D.1,2,3答案A解析易有NACB1,5,7，选A题型4：图解法解集合问题例7．（2009年广西北海九中训练）已知集合M=149|22yxx，N=123|yxy，则NM（）A．B．)}0,2(),0,3{(C．3,3D．2,3答案C例8．设全集R，函数)1)(1|1lg(|)(aaxxf的定义域为A，集合}1cos|{xxB，若BAC)(恰好有2个元素，求a的取值集合。解：axax1|1|01|1|1a时，01a∴2axax或∴),()2,(aaAkxx2,1cos，∴)(2zkkx∴},2|{zkkxxB当1a时，],2[aaAC在此区间上恰有2个偶数。0222421aaaaa题型7：集合综合题数学01---第4页共18页例11．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|2}，B={x|212xx1}，若AB，求实数a的取值范围。解：由|x－a|2，得a－2xa+2，所以A={x|a－2xa+2}。由212xx1，得23xx0，即－2x3，所以B={x|－2x3}。因为AB，所以3222aa，于是0≤a≤1。第二讲函数概念与表示1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思6．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系7．分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8．复合函数若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域【典例解析】题型1：函数概念例1．21.（2009天津卷文）设函数0,60,64)(2xxxxxxf则不等式)1()(fxf的解集是（）A.),3()1,3(B.),2()1,3(C.),3()1,1(D.)3,1()3,(答案A解析由已知，函数先增后减再增数学01---第5页共18页当0x，2)(xf3)1(f令,3)(xf解得3,1xx。当0x，3,36xx故3)1()(fxf