第五章应力状态分析 强度理论

1第五章应力状态分析强度理论第一节应力状态的概念2轴向拉压同一横截面上各点应力相等：AFFF同一点在斜截面上时：2cossin22一、举例3此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。4横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。zMQF5二、一点的应力状态——过一点不同方向面上应力的集合。应力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明6•单元体dxdydz,,0三、一点应力状态的描述FFAA7若单元体各个面上的应力已知，由平衡即可确定任意方向面上的正应力和切应力。8FF示例一S平面111AF9190FFS平面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.10FF190S平面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.11示例二：FPl/2l/2S平面5432154321S平面1254321543211S平面2PF4lFMPzzzxWM122x223313主应力：主平面上的正应力主平面：单元体上剪应力为零的平面通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，分别称为第一、第二、第三主应力，记为1，2和3，且123四、主平面和主应力主单元体：由主平面组成的单元体14五、三种应力状态1、单向应力状态（1）概念只有一个主应力不等于零的称为单向应力状态。（2）实例①受轴向拉伸或压缩的直杆②纯弯曲的直梁内各点的应力状态。1152、二向应力状态（1）概念有两个主应力不等于零的称为二向应力状态（又称平面应力状态）。（2）实例①受扭的圆轴，除轴线上各点外其他任意点的应力状态②化工中、低压容器壁各点的应力状态。122163、三向应力状态（1）概念三个主应力都不等于零的应力状态称为三向应力状态。（2）实例①高压容器器壁内各点的应力状态。②两齿轮的接触点处的应力状态。二向和三向应力状态称为复杂应力状态23117xx拉为正xx压为负一、正负号规定第二节平面应力状态分析1、正应力18使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负yxxy剪应力正负号规则19ntyx由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。角正负号规则20efa平衡对象——用ef斜截面截取的单元体局部二、任意截面上的应力dAdA·cosdA·sinxyxyyxxyefxyxxyytn21参加平衡的量——应力乘以其作用的面积平衡方程——0nF0tF及yxyefadAdA·cosdA·sinxxytn220yxefadAdA·cosdA·sinxxyytn-cos)cos(dAx-ydA(sin)sindAdA(cos)sinxydA(sin)cosyx0nF23dA-xdA(cos)sin-xydA(cos)cosydA(sin)cosyxdA(sin)sin00tFyyxefadAdA·cosdA·sinxxytn24得：cos2sin222xyxyxy--　（5－3）sin2cos22xyxy-　　　　（5－4）（5－1）（5－2）22cossin2sincosxyxy-22sincoscossinxyxy--化简得：252sin2cos22xyyxyx--2cos2sin2xyyx-三、主平面和主应力0ddyxxytg--220由将0值代入，得：（5－3）（5－4）（5－5）（5－6）max22min()22xyxyxy-26四、极值剪应力cos2sin2xyxydd--令，由公式（5－4）得0dd122xyxytg-设极值剪应力所在平面外法线与x轴正向为，则由上式有：1由5－7式解出和，代回5－4式可得1sin1cos（5－7）也有两个解和＋π/2，说明两个极值剪应力所在平面互相垂直。11（5－7）27再比较公式（5－5）和（5－7）（5－8）将（5－6）式与（5－8）对比，可得下列关系（5－9）（5－6）max22min()2xyxy-max22min()22xyxyxy-maxminmax2--122xyxytg-（5－7）022xyxytg--（5－5）281000122222tgctgtgtg--10222104因此有可知：这说明极值剪应力所在平面与主平面成45º角。2940MPa30MPa60例5-1：一点处的平面应力状态如图所示。已知,30-,60MPax.30MPaxy-试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,40MPay-3040MPa30MPa60解：（1）斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx--2cos2sin2xyyx-)60sin(30)60cos(2406024060---MPa02.9)60cos(30)60sin(24060---MPa3.58-31（2）主应力、主平面40MPa30MPa602yxxyyx22)2(-maxMPa3.682yxxyyx22)2(--minMPa3.48-MPaMPa3.48,0,3.68321-32主平面的方位：40MPa30MPa60022xyxytg--406060--6.0015.5,09015.590105.5哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：33MPa60主应力的方向：3主应力的方向：1+MPa30015.5,MPa40+MPa30090105.534例5-2分析承受内压薄壁容器任意点的应力状态。ｐlxt（壁厚为t，内直径为d，td，内压为p）35ＤｐπD２４Dxｐxx0xF42DpDx4pDx36ｐ2tlttｐ×Ｄ×l0yFlDplt22pDt37xtxt承受内压薄壁容器任意点的应力状态:38例5-3：分析受扭构件的破坏规律解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力0yxxytmWmax22min22xyxyxy-（）2xyxyCyxmCxyyx-3210;;002tg245xyxy--x1＝3＝-C画出C点的主应力单元体40五应力圆1、应力圆方程xyyxyx2222)2()2(--41Rcxyyx22)2(-2yx应力圆应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向上的正应力和切应力a),(aa42在-坐标系中，标定与单元体A、D面上应力对应的点a和d连ad交轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。a(x,xy)d(y,yx)cRxy22.应力圆的画法xyyx22)2(-yyxxyADx43（1）点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向上的正应力和切应力3、几种对应关系yyxxyxcaA),(aa44yx转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；ntCaAa'2二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。x,xy)DEo45xxADodacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBE4、基本变形的应力状态单向拉伸46单向拉伸x'y'BExxx'x'y'y'x'y'BE47可见：45º方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。48oa(0,)d(0,-)ADbec2×45º2×45ºy'＝x'＝BE纯剪切49x'＝y'＝BEBE纯剪切50结果表明：45º方向面只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。515、平面应力状态的极值与主应力（1）主平面、主应力与主方向xyxyyxoc20adAD主平面：=0,与应力圆上和横轴交点对应的面1A1B52xyxyyxAD主应力的确定oc20ad1A1B1oA10cAc2yxxyyx22)2(-1oB10cBc-2yxxyyx22)2(--53主应力表达式54主应力排序：123oc20ad12o13o2355xyxyyxADoc20ad1211022(x,xy)主方向的确定022xyxyxtg--负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时针转向g56对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最大切应力”。max（2）面内最大切应力oc20ad1A1B5740MPa30MPa60例1：一点处的平面应力状态如图所示。已知,30-,60MPax.30MPaxy-试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,40MPay-AD58（一）、图解法40MPa30MPa60o)30,60(-b)30,40(-acd60)3.58,02.9(-MPa3.681MPa3.483-fe02)0,10(MPaR31.58)23030()2)40(60(22----0220.6xyxytg--015.48解：59013主应力单元体：MPaMPa3.48,0,3.68321-60第三节三向应力状态简介广义虎克定律三向应力状态——三个主应力均不为零的应力状态；特例——三个主应力及其主方向均已知。定义61一、三向应力状态的最大值1max3min231max-（方向与及成45°角）13231621二、广义虎克定律－叠加法2311223++2363112312223,11E,12E-E13-,21E-,22EE23-643312,31E-,32E-E33651231233211-E11113121-E22221231-E333312366★分析：1、,321,321即.,min3max12、当时，即为二向应力状态：03)(1211-E)(1122-E)(213-E3、当时，即为单向应力状态；0,032即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。67第四节、强度理论简介基本变形下的强度条件max[]NA（拉压）max[]zMW（弯曲）（正应力强度条件）max[]（剪切）（扭转）max[]tMW（剪应力强度条件）68两种强度失效形式(1)屈服（流动）：材料破坏前发生