沪教版(五四学制)八年级数学下册教案：22.3-特殊的平行四边形1

1特殊的平行四边形教学目标1.掌握矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理。2.理解正方形与菱形和矩形的关系，能用正方形的性质定理与判定定理判定正方形。难点内容：根据矩形、菱形、正方形的性质求解一些相关图形问题。特殊的平行四边形知识精要一、特殊的平行四边形1、矩形：有一个内角是直角的平行四边形。2、菱形：有一组邻边相等的平行四边形。3、正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。二、性质定理图形性质定理判定定理矩形1、四个角都是直角；2、两条对角线相等。1、有三个内角是直角的四边形。2、对角线相等的平行四边形。菱形1、四条边都相等；2、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。1、四条边都相等的四边形。2、对角线互相垂直的平行四边形。正方形1、四个角都是直角，四条边都相等；2、对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。1、一组邻边相等的矩形；2、有一个内角是直角的菱形。2热身练习1、已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，则BD=6cm.2、已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为5cm.3、、正方形的对称轴有＿＿4＿条。4、、正方形的对角线与一边的夹角为＿45＿。5、如图在ABC△中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DECA∥，DFBA∥．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果90BAC，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形.其中，正确的有.（只填写序号）答案：①②③④6、如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为32.7、菱形ABCD，若∠A:∠B＝2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（D）A．相等B．互相垂直且不平分C．互相平分且不垂直D．垂直且平分8、已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为(C)A．6cm，8cmB．3cm，4cmC．12cm，16cmD．24cm，32cm9、如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交ADBC，于EF，点，连结CE，则CDE△的周长为（D）A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm10、已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为(B)A.45°，135°B.60°，120°C.90°，90°D.30°，150°311、正方形具有而菱形没有的性质是（C）A．对角线互相平分B．每条对角线平分一组对角C．对角线相等D．对边相等12、如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若6CD，则AF等于（A）A．43B．33C．42D．813、已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．证明：只要证ADEABF14、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．（1）求证：BE=DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．答案：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD,∠B=∠D=90°．∵AE=AF，∴RtRtABEADF△≌△．∴BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC．∵BE＝DF，∴BC－BE=DC－DF.即CECF．∴OEOF∵OM=OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE=AF，∴平行四边形AEMF是菱形．ADBEFOCM415、已知，如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CEDF是正方形。证明：因为∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC所以四边形CEDF是矩形因为CD为∠ACB的平分线所以三角形CDE是等腰三角形，所以CE=DE所以四边形CEDF是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）精解名题例1、如图，已知锐角△ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O，求证：(1)EC＝BG；(2)EC⊥BG．解析易证△EAC≌△BAG，可得EC＝BG，∠AEC＝∠ABG，于是可证∠EOB＝∠EAB证明：(1)在正方形ABDE和正方形ACFG中，AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC．即∠EAC＝∠BAG，∴△EAC≌△BAG．∴EC＝BG．(2)由(1)知：△EAC≌△BAG，∴∠AEC＝∠ABG．又∵∠1＝∠2，∴∠ABG＋∠2＝∠AEC＋∠1＝90°．∴∠EOB＝∠EAB＝90°∴EC⊥BG．（若把∠BAC为锐角改为钝角，其余条件不变，上述两结论仍能成吗？如果成立试证明之．）例2、如图，已知P点是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别是垂足，求证：AP＝EF．证明：连结AC交BD于O，连结PC．在正方形ABCD中，BD⊥AC，BD平分AC．∴PA＝PC．又∵PE⊥CD，PF⊥BC，∠DCB＝90°．∴四边形PFCE是矩形．∴EF＝PC．∴PA＝EF．ABDCFPEDACBFE5例3、将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：是，两对边平行的四边形为平行四边形．(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：是，由11DCAB，且11//DCAB，得到（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为__33____时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是：平行四边形有一内角为90；当点B的移动距离为__1____时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是：平行四边形内有一组相邻的边相等．(图3、图4用于探究)例4、探究问题：⑴方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE,∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．图13030BDAC图2D1C1B1CADB图3CADB图4CADB6∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_EAF__．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_EAF______．∴___GF__=EF，故DE+BF=EF．⑵方法迁移：如图，将ABCRt沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=21∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．证：延长直线FB,使得BG=DE,∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点.∴AB=AD，∠ABG=∠ADE，∵BG=DE∴△AGB≌△AED，∴AG=AE，∵AF=AF，∠BAG=∠DAE又∵∠EAF=12∠DAB∠GAF=∠FAE，∴△AGF≌△AEF，∴GF=EF，∴DE+BF=EF；⑶问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足DABEAF21,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．当∠B+∠D=18007巩固练习一、填空题1.如图，矩形的周长为24cm，一边中点与对边两顶点连线成直角，则矩形的两邻边分别为4cm和8cm。2、菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是1.5cm。3、菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为_____23_____．4、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为：____512_____。5、正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于8cm6、如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是_____5______厘米.7、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=．二、选择题1、已知菱形ABCD的周长为40cm，BD=34AC，则菱形的面积为（A）A．96cm2B．94cm2C．92cm2D．90cm22、如下图，四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则∠BDP=（C）8A．15°B．25°C．30°D．35°(2题图)（3题图）（4题图）3、如上图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（A）A．43B．C．D．84、如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（B）A．310B．13C．25D．495、如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，E、F三等分AC，则△ABE的面积是(B)A．60B．100C．150D．200（5题图）（6题图）（7题图）6、如右图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（B）A.75°B.60°C.45°D.30°7、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(B)A．30B．34C．36D．40三、解答题1、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2，求：（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。9解：（1）120度；（2）AC=43，BD=4（3）832、如图，在ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，EF过点O且垂直于AC并交AB于点E，交CD于点F，求证：四边形AECF是菱形。提示：证ΔCOF≌ΔAOE3、如图，已知E为正方形ABCD的边BC的中点，EF⊥AE，CF平分∠DCG，求证：AE＝EF．解析：可取AB中点M，连结ME，证△AME≌△ECF证明：取AB中点M，连结ME在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°．又E为BC中点，∴AM＝BM＝BE＝EC．∴∠BME＝45°．∴∠AME＝135°．又CF平分∠DCG．∴∠ECF＝135°．∴∠AME＝∠ECF．又∵AE⊥EF，∴∠FEC＋∠AEB＝90°．又∵∠BAE＋∠AEB＝90°．∴∠FEC＝∠BAE．∴△AME≌△ECF．∴AE＝EF．4、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．答案：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵CE平分BAC，∴∠OCE=∠ECB．又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB．∴∠OCE=∠OEC．∴EOCO．GFCADBEFEG10同理，FOCO．∴EOFO．∵EOFO，AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形.又∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACP，∴90ECF．∴四边形AECF是矩形．自我测试一、