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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 沪教版(五四学制)八年级数学下册教案:22.3-特殊的平行四边形1
1、1特殊的平行四边形教学目标1.掌握矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理。2.理解正方形与菱形和矩形的关系,能用正方形的性质定理与判定定理判定正方形。难点内容:根据矩形、菱形、正方形的性质求解一些相关图形问题。特殊的平行四边形知识精要一、特殊的平行四边形1、矩形:有一个内角是直角的平行四边形。2、菱形:有一组邻边相等的平行四边形。3、正方形:有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。二、性质定理图形性质定理判定定理矩形1、四个角都是直角;2、两条对角线相等。1、有三个内角是直角的四边形。2、对角线相等的平行四边形。菱形1、四条边都相等;2、对角线互相垂直,每条对角线平分一组对角。1、四条边都相等的四边形。2、对角线互相垂直的平行四边形。正方形1、四个角都是直角,四条边都相等;2、对角线相等,且互相垂直,每条对角线平分一组内角。1、一组邻边相等的矩形;2、有一个内角是直角的菱形。2热身练习1、已知菱形ABCD的周长为20cm,∠A:∠ABC=1:2,则BD=6cm.2、已知菱形的一条对角线的长为12cm,面积是30cm2,则这个菱形的另一条对角线的长为5cm.3、、正方形的对称轴。
2、有__4_条。4、、正方形的对角线与一边的夹角为_45_。5、如图在ABC△中,点D、E、F分别在边AB、BC、CA上,且DECA∥,DFBA∥.下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;②如果90BAC,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果ADBC且ABAC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有.(只填写序号)答案:①②③④6、如图所示,正方形ABCD的面积为12,ABE△是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PDPE的和最小,则这个最小值为32.7、菱形ABCD,若∠A:∠B=2:1,∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是(D)A.相等B.互相垂直且不平分C.互相平分且不垂直D.垂直且平分8、已知菱形的周长为40cm,两对角线的长度之比为3:4,则两对角线的长分别为(C)A.6cm,8cmB.3cm,4cmC.12cm,16cmD.24cm,32cm9、如图,矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线相交于O点,过点O作AC的垂线EF,分别交ADBC,于EF,点,连结CE,则CDE△的周长为(D。
3、)A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm10、已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为(B)A.45°,135°B.60°,120°C.90°,90°D.30°,150°311、正方形具有而菱形没有的性质是(C)A.对角线互相平分B.每条对角线平分一组对角C.对角线相等D.对边相等12、如图,四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若6CD,则AF等于(A)A.43B.33C.42D.813、已知:如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在CD,BC上,且CE=CF,求证:AE=AF.证明:只要证ADEABF14、已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.(1)求证:BE=DF;(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.答案:证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°.∵AE=AF,∴RtRtABEADF△≌△.∴BE=DF.(2)四边形AEMF是菱形.∵四边形ABCD是正方。
4、形,∴∠BCA=∠DCA=45°,BC=DC.∵BE=DF,∴BC-BE=DC-DF.即CECF.∴OEOF∵OM=OA,∴四边形AEMF是平行四边形.∵AE=AF,∴平行四边形AEMF是菱形.ADBEFOCM415、已知,如图Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为∠ACB的平分线,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,求证:四边形CEDF是正方形。证明:因为∠ACB=90°,DE⊥BC,DF⊥AC所以四边形CEDF是矩形因为CD为∠ACB的平分线所以三角形CDE是等腰三角形,所以CE=DE所以四边形CEDF是正方形(一组邻边相等的矩形是正方形)精解名题例1、如图,已知锐角△ABC中,以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结CE、BG,交点为O,求证:(1)EC=BG;(2)EC⊥BG.解析易证△EAC≌△BAG,可得EC=BG,∠AEC=∠ABG,于是可证∠EOB=∠EAB证明:(1)在正方形ABDE和正方形ACFG中,AE=AB,AC=AG,∠EAB=∠GAC=90°,∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC.即∠EAC=∠BAG,∴△EAC≌△BAG.∴EC。
5、=BG.(2)由(1)知:△EAC≌△BAG,∴∠AEC=∠ABG.又∵∠1=∠2,∴∠ABG+∠2=∠AEC+∠1=90°.∴∠EOB=∠EAB=90°∴EC⊥BG.(若把∠BAC为锐角改为钝角,其余条件不变,上述两结论仍能成吗?如果成立试证明之.)例2、如图,已知P点是正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥DC,PF⊥BC,E,F分别是垂足,求证:AP=EF.证明:连结AC交BD于O,连结PC.在正方形ABCD中,BD⊥AC,BD平分AC.∴PA=PC.又∵PE⊥CD,PF⊥BC,∠DCB=90°.∴四边形PFCE是矩形.∴EF=PC.∴PA=EF.ABDCFPEDACBFE5例3、将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起,设较短直角边为1.(1)四边形ABCD是平行四边形吗?说出你的结论和理由:是,两对边平行的四边形为平行四边形.(2)如图2,将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置,四边形ABC1D1是平行四边形吗?说出你的结论和理由:是,由11DCAB,且11//DCAB,得到(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形).(3)在Rt△BCD沿射线BD。
6、方向平移的过程中,当点B的移动距离为__33____时,四边形ABC1D1为矩形,其理由是:平行四边形有一内角为90;当点B的移动距离为__1____时,四边形ABC1D1为菱形,其理由是:平行四边形内有一组相邻的边相等.(图3、图4用于探究)例4、探究问题:⑴方法感悟:如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证DE+BF=EF.感悟解题方法,并完成下列填空:将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,因此,点G,B,F在同一条直线上.∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.图13030BDAC图2D1C1B1CADB图3CADB图4CADB6∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=45°.即∠GAF=∠_EAF__.又AG=AE,AF=AF∴△GAF≌_EAF______.∴___GF__=EF,故DE+BF=EF.⑵方法迁移:如图,将ABCRt沿斜边翻折。
7、得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=21∠DAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想.证:延长直线FB,使得BG=DE,∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点.∴AB=AD,∠ABG=∠ADE,∵BG=DE∴△AGB≌△AED,∴AG=AE,∵AF=AF,∠BAG=∠DAE又∵∠EAF=12∠DAB∠GAF=∠FAE,∴△AGF≌△AEF,∴GF=EF,∴DE+BF=EF;⑶问题拓展:如图,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足DABEAF21,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由).当∠B+∠D=18007巩固练习一、填空题1.如图,矩形的周长为24cm,一边中点与对边两顶点连线成直角,则矩形的两邻边分别为4cm和8cm。2、菱形的周长为12cm,相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是1.5cm。3、菱形的两邻角之比为1:2,边长为2,则菱形的面积为_____23_____.4、如图,矩形ABCD中,AB=3,BC。
8、=4,P是边AD上的动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF的值为:____512_____。5、正方形ABCD中,对角线BD长为16cm,P是AB上任意一点,则点P到AC、BD的距离之和等于8cm6、如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3厘米,EF=4厘米,则边AD的长是_____5______厘米.7、如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作OH丄AB,垂足为H,则点0到边AB的距离OH=.二、选择题1、已知菱形ABCD的周长为40cm,BD=34AC,则菱形的面积为(A)A.96cm2B.94cm2C.92cm2D.90cm22、如下图,四边形ABCD为正方形,△BPC为等边三角形,连接PD、BD,则∠BDP=(C)8A.15°B.25°C.30°D.35°(2题图)(3题图)(4题图)3、如上图,四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF,若CD=6,则AF等于(A)A.43B.C.D.84、如图,正方形ABCD的面积为1,M是。
9、AB的中点,则图中阴影部分的面积是(B)A.310B.13C.25D.495、如图,矩形ABCD中,AB=20,AD=30,E、F三等分AC,则△ABE的面积是(B)A.60B.100C.150D.200(5题图)(6题图)(7题图)6、如右图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且E、F分别为BC、CD的中点,则∠EAF等于(B)A.75°B.60°C.45°D.30°7、如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是(B)A.30B.34C.36D.40三、解答题1、已知如图,菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AE=2,求:(1)∠ABC的度数;(2)对角线AC、BD的长;(3)菱形ABCD的面积。9解:(1)120度;(2)AC=43,BD=4(3)832、如图,在ABCD中,两对角线AC、BD交于点O,EF过点O且垂直于AC并交AB于点E,交CD于点F,求证:四边形AECF是菱形。提示:证ΔCOF≌ΔAOE3、如图,已知E为正方形ABCD的边BC的中点,EF⊥AE,CF平分∠DCG,求证:AE=。
10、EF.解析:可取AB中点M,连结ME,证△AME≌△ECF证明:取AB中点M,连结ME在正方形ABCD中,AB=BC,∠B=∠DCB=90°.又E为BC中点,∴AM=BM=BE=EC.∴∠BME=45°.∴∠AME=135°.又CF平分∠DCG.∴∠ECF=135°.∴∠AME=∠ECF.又∵AE⊥EF,∴∠FEC+∠AEB=90°.又∵∠BAE+∠AEB=90°.∴∠FEC=∠BAE.∴△AME≌△ECF.∴AE=EF.4、如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.答案:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.∵CE平分BAC,∴∠OCE=∠ECB.又∵MN∥BC,∴∠OEC=∠ECB.∴∠OCE=∠OEC.∴EOCO.GFCADBEFEG10同理,FOCO.∴EOFO.∵EOFO,AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.又∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACP,∴90ECF.∴四边形AECF是矩形.自我测试一、。
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